Osciladores Acoplados e a Equação de Klein–Gordon
Minicurso (2 aulas de 1h30)
O minicurso parte de um sistema discreto de osciladores harmônicos acoplados em uma dimensão e estuda a passagem da descrição discreta para a contínua. O percurso inclui matrizes circulantes e a transformada de Fourier discreta, o limite contínuo que leva à equação de Klein–Gordon e a construção, ainda na mecânica clássica, das variáveis de criação e aniquilação. Cada etapa é acompanhada de uma implementação em Python e da solução numérica das equações.
Público. Estudantes de graduação a partir da metade do curso e estudantes de pós-graduação. Pré-requisitos: mecânica clássica (equações de Hamilton), álgebra linear (autovalores e autovetores) e noções de Python.
Material
| Aula | Notas | Slides |
|---|---|---|
| 1. Do oscilador harmônico às matrizes circulantes | Notas | Slides |
| 2. O limite contínuo e as variáveis de criação e aniquilação | Notas | Slides |
Os slides e as notas têm as mesmas seções: durante a aula os slides são projetados e as notas trazem todas as contas e o código completo. Cada página de notas pode ser baixada como notebook Jupyter ou como script Python, ou aberta diretamente no Google Colab.
Notação
Cada símbolo tem um único significado em todas as páginas do minicurso.
| Símbolo | Significado | Definido em |
|---|---|---|
| \(m\) | massa de uma partícula | Aula 1 |
| \(\kappa\) | constante da mola do oscilador isolado | Aula 1 |
| \(\omega\) | frequência angular, \(\omega \equiv \sqrt{\kappa/m}\) | Aula 1 |
| \(x\), \(p\) | posição e momento do oscilador isolado | Aula 1 |
| \(H\) | Hamiltoniana | Aula 1 |
| \(\dot x\) | derivada em relação ao tempo, \(\dot x \equiv \mathrm dx/\mathrm dt\) | Aula 1 |
| \(\vec\chi\) | vetor do espaço de fase, \(\vec\chi \equiv (x, p)^{\mathsf T}\) no oscilador, \((\vec h, \vec p)\) na cadeia | Aula 1 |
| \(\vec\partial H\) | gradiente de \(H\) no espaço de fase | Aula 1 |
| \(\mathsf H\) | matriz da Hamiltoniana, \(H = \frac12 \vec\chi^{\mathsf T}\mathsf H \vec\chi\) | Aula 1 |
| \(\Omega\) | matriz simplética | Aula 1 |
| \(A\) | gerador da evolução, \(A \equiv \Omega\mathsf H\) | Aula 1 |
| \(\Omega(\vec\chi_1, \vec\chi_2)\) | produto simplético, \(\Omega(\vec\chi_1, \vec\chi_2) \equiv \vec\chi_1^{\mathsf T}\Omega\, \vec\chi_2\), a área orientada | Aula 1 |
| \(\Delta t\), \(t_n\) | passo de tempo e instantes \(t_n \equiv n\Delta t\) | Aula 1 |
| \(\xi\), \(\eta\) | variáveis adimensionais, \(\xi \equiv \sqrt m\,\omega x\), \(\eta \equiv p/\sqrt m\) | Aula 1 |
| \(\varepsilon\) | passo adimensional, \(\varepsilon \equiv \omega\Delta t\) | Aula 1 |
| \(z\) | variável complexa, \(z \equiv \xi + i\eta\) | Aula 1 |
| \(M_{\rm ex}(\varepsilon)\) | matriz do passo exato no plano \((\xi, \eta)\), rotação de ângulo \(\varepsilon\) | Aula 1 |
| \(M_{\rm E}\), \(M_{\rm SE}\), \(M_{\rm V}\), \(M_{\rm RK4}\) | matrizes de um passo dos quatro métodos no plano \((\xi, \eta)\) | Aula 1 |
| \(M_{11}, \dots, M_{22}\); \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) | elementos e autovalores de uma matriz \(2\times 2\) | Aula 1 |
| \(S_\xi(\varepsilon)\), \(S_\eta(\varepsilon)\) | cisalhamentos que atualizam \(\xi\) e \(\eta\) | Aula 1 |
| \(\mathrm{Sp}(2, \mathbb R)\) | grupo simplético, matrizes com \(M^{\mathsf T}\Omega M = \Omega\) | Aula 1 |
| \(\tilde H_{\rm SE}\), \(\tilde H_{\rm V}\); \(Q_{\rm SE}\), \(Q_{\rm V}\) | formas quadráticas conservadas pelo Euler simplético e pelo Verlet, e suas matrizes | Aula 1 |
| \(\theta_{\rm V}\) | ângulo avançado por um passo de Verlet, \(\cos\theta_{\rm V} = 1 - \varepsilon^2/2\) | Aula 1 |
| \(F\) | força | Aula 1 |
| \(k_1, \dots, k_4\) | avaliações de \(A\vec\chi\) em um passo do RK4 | Aula 1 |
| \(R\) | fator de amplificação do RK4 | Aula 1 |
| \(N\) | número de partículas da cadeia | Aula 1 |
| \(\Delta x\) | espaçamento horizontal entre partículas vizinhas | Aula 1 |
| \(h^j\), \(\vec h\) | altura da partícula \(j\) e vetor das \(N\) alturas | Aula 1 |
| \(K\) | constante das molas entre partículas vizinhas | Aula 1 |
| \(K_0\) | constante das molas que prendem cada partícula à posição de equilíbrio | Aula 1 |
| \(F_j\), \(\vec F\) | força vertical sobre a partícula \(j\) e vetor das \(N\) forças | Aula 1 |
| \(\ell_0\), \(\tau\) | comprimento natural de uma mola e tensão, \(\tau \equiv K(\Delta x - \ell_0)\) (na Aula 2, a tensão da corda) | Aula 1 |
| \(T\) | operador de translação, \((T\vec h)^j \equiv h^{j+1}\) | Aula 1 |
| \(D\) | \(D \equiv 2I - T - T^{-1}\); \(-D\) é o Laplaciano discreto periódico | Aula 1 |
| \(V\) | energia potencial da cadeia | Aula 1 |
| \(p_j\), \(\vec p\) | momento da partícula \(j\), \(p_j \equiv m\dot h^j\), e vetor dos \(N\) momentos | Aula 1 |
| \(\vec 1\) | vetor com todas as componentes iguais a \(1\) | Aula 1 |
| \(\beta\) | deslocamento comum de todas as alturas, \(\vec h \to \vec h + \beta\,\vec 1\) | Aula 1 |
| \(P\) | momento total da cadeia, \(P \equiv \sum_j p_j\) | Aula 1 |
| \(\bar h\), \(\bar p\) | altura média (do centro de massa) e momento por partícula, \(\bar h \equiv \frac1N\sum_j h^j\), \(\bar p \equiv P/N\) | Aula 1 |
| \(\{f, g\}\) | parêntese de Poisson | Aula 1 |
| \(b_r\) | elementos da primeira linha de uma matriz circulante, \(C^j{}_k = b_{k-j}\) | Aula 1 |
| \(C\) | matriz circulante, \(C = \sum_r b_r T^r\) | Aula 1 |
| \(\vec v_a\) | vetores de Fourier, \(v_a^{\,j} \equiv e^{2\pi i aj/N}/\sqrt N\) | Aula 1 |
| \(\vec u^\dagger\vec w\) | produto escalar complexo, \(\vec u^\dagger\vec w \equiv \sum_j (u^j)^* w^j\) | Aula 1 |
| \(\tilde h^a\), \(\tilde p^a\) | componentes de \(\vec h\) e \(\vec p\) na base de Fourier (DFT), \(\tilde h^a \equiv \vec v_a^{\,\dagger}\vec h\) | Aula 1 |
| \(\lambda_a(C)\) | autovalor de \(C\) associado a \(\vec v_a\) | Aula 1 |
| \(U\) | matriz unitária com colunas \(\vec v_a\) | Aula 1 |
| \(\omega_a\) | frequência do modo \(a\) (relação de dispersão); em \(a = 0\), \(\sqrt{K_0/m}\) | Aula 1 |
| \(\omega_{\max}\) | maior das frequências \(\omega_a\) | Aula 1 |
| \(\vec\zeta_a\), \(q^a\) | vetores de Hartley e coordenadas \(q^a \equiv \vec\zeta_a^{\,\mathsf T}\vec h\) | Aula 1 |
| \(x_j\), \(L\) | posição da partícula \(j\), \(x_j \equiv j\Delta x\), e comprimento do anel, \(L \equiv N\Delta x\) | Aula 2 |
| \(\phi(t, x)\) | campo, \(\phi(t, x_j) \equiv h^j(t)\) | Aula 2 |
| \(\rho\) | densidade linear de massa, \(m = \rho\Delta x\) | Aula 2 |
| \(\mu\) | parâmetro de massa, \(K_0 = \rho\mu^2\Delta x\); \(\mu^2 = K_0/m\) | Aula 2 |
| \(c\) | velocidade, \(c \equiv \sqrt{\tau/\rho}\) | Aula 2 |
| \(\Pi(t, x)\) | momento por unidade de comprimento, \(\Pi(t, x_j) \equiv p_j/\Delta x\) | Aula 2 |
| \(\delta(x - y)\) | delta de Dirac | Aula 2 |
| \(k_a\) | número de onda, \(k_a \equiv 2\pi a/L\) | Aula 2 |
| \(\omega_{\Delta x}(k)\), \(\omega(k)\) | relação de dispersão da cadeia e do campo, \(\omega(k)^2 \equiv \mu^2 + c^2k^2\) | Aula 2 |
| \(u_a(x)\) | funções de Fourier, \(u_a(x) \equiv e^{ik_ax}/\sqrt L\) | Aula 2 |
| \(\tilde\phi^a\), \(\tilde\Pi^a\) | coeficientes de Fourier do campo, \(\tilde\phi^a \equiv \int_0^L u_a^*\phi\,\mathrm dx\) | Aula 2 |
| \(\psi^j\), \(c_a\), \(k_0\), \(\sigma_{\rm p}\), \(x_{\rm p}\), \(x_{\rm c}\) | pacote de ondas complexo, seus coeficientes, número de onda central, largura, posição inicial e centro | Aula 2 |
| \(e_j\), \(e_{j+1/2}\), \(S_{j+1/2}\) | energia da partícula \(j\), energia da mola entre \(j\) e \(j+1\), e fluxo de energia através dessa mola | Aula 2 |
| \(P_{\rm rede}\) | momento da cadeia, associado à translação \(T\) | Aula 2 |
| \(\kappa(k)\), \(\kappa_a\) | \(\kappa(k) \equiv \sin(k\Delta x)/\Delta x\), momento da cadeia por partícula do modo \(a\) (dividido por \(\hbar\)) | Aula 2 |
| \(\mathcal E\), \(\mathcal S\) | densidade e fluxo de energia do campo | Aula 2 |
| \(\mathcal P\), \(\mathcal T\) | densidade e fluxo de momento do campo | Aula 2 |
| \(\langle \vec h_1, \vec h_2\rangle\), \(\langle\phi_1, \phi_2\rangle\) | produto simplético de soluções complexas da cadeia, e seu limite, o produto de Klein–Gordon | Aula 2 |
| \(\vec f_a\), \(f_a(t, x)\) | modos de frequência positiva da cadeia, de componentes \(f_a^{\,j} \equiv v_a^{\,j}e^{-i\omega_a t}/\sqrt{2m\omega_a}\), e do campo | Aula 2 |
| \(\alpha_a\) | variáveis de criação e aniquilação clássicas, \(\alpha_a \equiv \langle \vec f_a, \vec h\rangle\) | Aula 2 |
| \(\vec\psi_+\) | parte de frequência positiva de uma solução real | Aula 2 |
| \(\mathcal H_n\), \(\mathcal F\) | espaço de \(n\) partículas e espaço de Fock | Aula 2 |
| \(\psi^a\), \(\Psi^{a_1\cdots a_n}\), \(\Psi^{j_1j_2}\) | componentes de estados de uma e de \(n\) partículas, e amplitude de duas partículas nas posições | Aula 2 |
| \(\vec\psi\), \(\vec\psi_1\), \(\vec\psi_2\) | estados de uma partícula, elementos de \(\mathcal H_1\) | Aula 2 |
| \(\vec\psi_{\rm E}\), \(\vec\psi_{\rm D}\) | pacotes vindos da esquerda e da direita | Aula 2 |
| \(\lvert 0\rangle\), \(n_a\) | vácuo e números de ocupação | Aula 2 |
| \(a(\vec\psi_1)\), \(a^\dagger(\vec\psi_2)\), \(a_a\), \(a_a^\dagger\) | operadores de aniquilação e de criação | Aula 2 |
| \(\hat n_a\), \(\hat H\), \(\hat P_{\rm rede}\), \(\hat P_{\rm campo}\) | operadores de número, de energia, de momento da cadeia e de momento do campo | Aula 2 |
| \(\hbar\) | constante de Planck reduzida | Aula 2 |
| \(\hat h^j\), \(\hat p_j\); \(\hat\phi\), \(\hat\Pi\) | alturas e momentos da cadeia quântica; campo quântico e seu momento conjugado | Aula 2 |
| \(\hat H_{\rm cadeia}\), \(E_{\rm vácuo}\) | Hamiltoniana da cadeia quântica e energia do vácuo, \(E_{\rm vácuo} \equiv \sum_a\hbar\omega_a/2\) | Aula 2 |
Feel free to create issues, ask questions, or suggest improvements in the GitHub repository.