Campos Escalares Relativísticos: Bases, Vácuo e Propagadores

1 Introdução

Objetivos da Aula: - Construir uma base completa no espaço de fase para campos escalares relativísticos - Explorar a normalização e as liberdades de gauge na escolha da base - Conectar a escolha da base com a definição do vácuo e a simetria de inversão temporal - Desenvolver a solução com fonte (propagador) para o campo escalar

Contexto: Estendemos o problema do oscilador harmônico para o caso de infinitos graus de liberdade, representando um campo escalar relativístico. A estrutura simplética do espaço de fase agora inclui uma integral sobre todos os modos de Fourier.

2 Base no Espaço de Fase

2.1 Definição da Base

Para cada vetor de onda \(\mathbf{k}\), definimos pares de funções temporais: \[f_{\mathbf{k}}(x_0), \quad q_{\mathbf{k}}(x_0)\] onde \(x_0 = ct\) é a coordenada temporal. A base completa no espaço de fase é composta por: \[\Psi_{\mathbf{k}} = \begin{pmatrix} f_{\mathbf{k}} \\ q_{\mathbf{k}} \end{pmatrix}\] com a dependência espacial dada por \(e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\).

Observação: Estamos usando a notação \(x_0\) para a coordenada temporal, seguindo a convenção relativística onde as coordenadas espaço-tempo são \((x_0, x_1, x_2, x_3)\).

2.2 Produto Simplético

O produto entre dois elementos da base é definido por: \[(\Psi_{\mathbf{k}'}, \Psi_{\mathbf{k}}) = i\int_{\mathbb{R}^3} \left[f_{\mathbf{k}'}^* q_{\mathbf{k}} - q_{\mathbf{k}'}^* f_{\mathbf{k}}\right] d^3x\] Substituindo as dependências espaciais: \[(\Psi_{\mathbf{k}'}, \Psi_{\mathbf{k}}) = i\left[f_{\mathbf{k}}^* q_{\mathbf{k}} - q_{\mathbf{k}}^* f_{\mathbf{k}}\right]\delta^{(3)}(\mathbf{k} - \mathbf{k}')\] A base é ortogonal com normalização delta de Dirac.

2.3 Normalização da Base

Para que a base seja ortonormal no sentido da delta de Dirac: \[i\left[f_{\mathbf{k}}^* q_{\mathbf{k}} - q_{\mathbf{k}}^* f_{\mathbf{k}}\right] = 1\] Equivalentemente: \[2\,\text{Im}(f_{\mathbf{k}}^* q_{\mathbf{k}}) = -1\]

Definição (Vácuo): A escolha das funções de base que satisfazem a condição de normalização define o vácuo da teoria. Diferentes escolhas correspondem a diferentes definições de vácuo.

3 Liberdades na Escolha da Base

3.1 Graus de Liberdade

Para cada \(\mathbf{k}\), temos \(f_{\mathbf{k}}, q_{\mathbf{k}} \in \mathbb{C}\) (4 graus de liberdade reais). As restrições são:

1. Equação de normalização: 1 equação real \(\Rightarrow\) 3 graus de liberdade
2. Liberdade de gauge (fase): \(f_{\mathbf{k}} \to e^{i\theta_{\mathbf{k}}} f_{\mathbf{k}}\), \(q_{\mathbf{k}} \to e^{i\theta_{\mathbf{k}}} q_{\mathbf{k}}\)

A liberdade de fase reduz mais um grau de liberdade, resultando em 2 graus de liberdade efetivos.

Observação: A liberdade de fase corresponde à ambiguidade na definição das soluções complexas: dadas duas soluções reais independentes \(V_1\) e \(V_2\) (como na construção da aula anterior), podemos escolher \(V_1 + iV_2\) ou \(V_2 + iV_1\), ou qualquer combinação linear equivalente.

3.2 Solução Geral do Oscilador Harmônico

A equação de movimento no espaço de Fourier é: \[\ddot{f}_{\mathbf{k}} = -\omega_{\mathbf{k}}^2 f_{\mathbf{k}}, \quad \omega_{\mathbf{k}} = |\mathbf{k}|\] A solução geral é: \[f_{\mathbf{k}} = N_{\mathbf{k}} e^{-i\omega_{\mathbf{k}} x_0} + M_{\mathbf{k}} e^{+i\omega_{\mathbf{k}} x_0}\] onde \(N_{\mathbf{k}}, M_{\mathbf{k}} \in \mathbb{C}\).

Observação: O primeiro termo representa frequências positivas (propagação para frente no tempo), e o segundo, frequências negativas (propagação para trás no tempo).

3.3 Condição de Normalização em Termos de N e M

Da condição de normalização: \[2\omega_{\mathbf{k}}\left(|N_{\mathbf{k}}|^2 - |M_{\mathbf{k}}|^2\right) = 1\] ou, equivalentemente: \[\omega_{\mathbf{k}}\left(|N_{\mathbf{k}}|^2 - |M_{\mathbf{k}}|^2\right) = \frac{1}{2}\]

Observação: Esta é uma relação hiperbólica que define vetores tipo tempo no espaço de Minkowski.

3.4 Escolha do Vácuo

A escolha mais simples é \(M_{\mathbf{k}} = 0\), resultando: \[N_{\mathbf{k}} = \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{k}}}}\] Isso define as funções de base: \[f_{\mathbf{k}} = \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{k}}}} e^{-i\omega_{\mathbf{k}} x_0} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\] \[q_{\mathbf{k}} = -i\sqrt{\frac{\omega_{\mathbf{k}}}{2}} e^{-i\omega_{\mathbf{k}} x_0} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\]

Nota: Esta escolha elimina as soluções de frequência negativa, definindo o vácuo de Minkowski. O fator \((2\pi)^{-3/2}\) que garante a ortogonalidade correta aparece na medida \(d^3k\) da decomposição do campo (abaixo), não nas próprias funções de base.

3.5 Complexo Conjugado e Inversão Temporal

O complexo conjugado das funções de base: \[f_{\mathbf{k}}^* = \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{k}}}} e^{+i\omega_{\mathbf{k}} x_0} e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\] \[q_{\mathbf{k}}^* = +i\sqrt{\frac{\omega_{\mathbf{k}}}{2}} e^{+i\omega_{\mathbf{k}} x_0} e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\]

Propriedade Fundamental: Tomar o complexo conjugado é equivalente a uma inversão temporal: \(x_0 \to -x_0\).

Consequência: A presença da simetria de inversão temporal implica a existência de partículas e antipartículas na teoria quântica de campos. Esta é uma consequência geométrica da métrica de Minkowski.

4 Decomposição de Campos

4.1 Decomposição em Modos

Qualquer campo escalar real \(\phi(x)\) pode ser decomposto como: \[\phi(x) = \int_{\mathbb{R}^3} \frac{d^3k}{(2\pi)^{3/2}} \left[\alpha_{\mathbf{k}} f_{\mathbf{k}}(x) + \alpha_{\mathbf{k}}^* f_{\mathbf{k}}^*(x)\right]\] ou, de forma equivalente: \[\phi(x) = \int_{\mathbb{R}^3} \frac{d^3k}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{k}}}} \left[a_{\mathbf{k}} e^{-ik\cdot x} + a_{\mathbf{k}}^\dagger e^{+ik\cdot x}\right]\] onde \(k\cdot x = \omega_{\mathbf{k}} x_0 - \mathbf{k}\cdot\mathbf{x}\).

4.2 Coeficientes de Decomposição

Os coeficientes são obtidos pelo produto simplético: \[\alpha_{\mathbf{k}} = i(f_{\mathbf{k}}^*, \phi) = i\int_{\mathbb{R}^3} \left[f_{\mathbf{k}}^* q_\phi - q_{\mathbf{k}}^* f_\phi\right] d^3x\] Esta relação é fundamental para a quantização do campo.

5 Solução com Fonte (Propagador)

5.1 Problema com Fonte

Queremos resolver a equação: \[(\Box + m^2)\phi(x) = J(x)\] onde \(J(x)\) é uma fonte externa.

Nota: Estamos usando o operador d’Alembertiano: \(\Box = \partial_0^2 - \nabla^2\).

5.2 Construção do Propagador

Construímos a solução como: \[\phi_J(x) = \int_{-\infty}^{x_0} dx_0' \int_{\mathbb{R}^3} d^3k \left[\alpha_{\mathbf{k}}^{J*}(x_0') f_{\mathbf{k}}^*(x_0) - \alpha_{\mathbf{k}}^J(x_0') f_{\mathbf{k}}(x_0)\right]\] onde: \[\alpha_{\mathbf{k}}^J(x_0') = i(f_{\mathbf{k}}^*, J)|_{x_0'}\]

Observação: O limite superior \(x_0\) na integral temporal garante que o propagador seja causal (propagador retardado).

5.3 Propriedade da Solução

Derivando \(\phi_J\) em relação a \(x_0\) e usando a regra de Leibniz no limite superior \(x_0\), obtemos: \[(\Box + m^2)\phi_J = J\] Portanto, \(\phi_J\) satisfaz a equação com fonte.

Interpretação: A fonte \(J\) atua como um termo de “forçamento” contínuo, gerando novos modos do campo. Esta é a versão contínua do problema do oscilador harmônico forçado.

5.4 Estrutura do Propagador

O propagador retardado tem a forma: \[G_R(x - x') = \theta(x_0 - x_0') \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_{\mathbf{k}}} \left[e^{-ik\cdot(x-x')} - e^{+ik\cdot(x-x')}\right]\]

Observação: Este é o propagador retardado para o campo escalar, que será fundamental para o cálculo de amplitudes de espalhamento.

5.5 Propriedade de Causalidade

O propagador retardado é não nulo apenas quando: \[(x_0 - x_0') = |\mathbf{x} - \mathbf{x}'|\] ou seja, quando os eventos estão conectados por um sinal que se propaga na velocidade da luz.

Definição (Cone de Luz): A região do espaço-tempo onde \(\Delta x_0 = |\Delta \mathbf{x}|\) é o cone de luz. O propagador é não nulo apenas sobre o cone de luz.

5.6 Relação com Eletromagnetismo

No caso do campo escalar, a função de Green do operador de d’Alembert é: \[G_R(x - x') = \frac{\delta(x_0 - x_0' - |\mathbf{x} - \mathbf{x}'|)}{4\pi|\mathbf{x} - \mathbf{x}'|}\]

Interpretação: Esta é a função de Green do eletromagnetismo, que descreve a propagação de sinais no vácuo. A aparente propagação superluminal do potencial de Coulomb é um artefato do regime estático.

6 Resumo e Principais Resultados

Conceito	Fórmula	Interpretação Física
Base no espaço de fase	\(\Psi_{\mathbf{k}} = \begin{pmatrix} f_{\mathbf{k}} \\ q_{\mathbf{k}} \end{pmatrix} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\)	Modos de Fourier do campo
Ortogonalidade	\((\Psi_{\mathbf{k}'}, \Psi_{\mathbf{k}}) = i[f^*q - q^*f]\delta^{(3)}(\mathbf{k}-\mathbf{k}')\)	Bases ortogonais no espaço de fase
Normalização	\(i[f^*q - q^*f] = 1\)	Normalização delta de Dirac
Escolha do vácuo	\(M_{\mathbf{k}} = 0\), \(N_{\mathbf{k}} = 1/\sqrt{2\omega_{\mathbf{k}}}\)	Vácuo de Minkowski
Decomposição do campo	\(\phi(x) = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega}} [a_{\mathbf{k}}e^{-ik\cdot x} + a_{\mathbf{k}}^\dagger e^{ik\cdot x}]\)	Partículas e antipartículas
Propagador retardado	\(G_R(x-x') = \theta(x_0-x_0') \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega} [e^{-ik\cdot\Delta x} - e^{+ik\cdot\Delta x}]\)	Causalidade e cone de luz

7 Exercícios

7.1 Exercício 1: Normalização da Base e Liberdade de Gauge (Essencial)

a) Mostre que a condição \((\Psi_{\mathbf{k}'}, \Psi_{\mathbf{k}}) = \delta^{(3)}(\mathbf{k} - \mathbf{k}')\) implica \(i[f^*_{\mathbf{k}} q_{\mathbf{k}} - q^*_{\mathbf{k}} f_{\mathbf{k}}] = 1\).

b) Verifique que a escolha \(f_{\mathbf{k}} = \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{k}}}} e^{-i\omega_{\mathbf{k}} x_0}\), \(q_{\mathbf{k}} = -i\sqrt{\omega_{\mathbf{k}}/2}\, e^{-i\omega_{\mathbf{k}} x_0}\) satisfaz esta condição.

c) Mostre que a transformação de fase \(f_{\mathbf{k}} \to e^{i\theta_{\mathbf{k}}} f_{\mathbf{k}}\), \(q_{\mathbf{k}} \to e^{i\theta_{\mathbf{k}}} q_{\mathbf{k}}\) deixa invariante o produto simplético, e conte quantos graus de liberdade reais restam após impor a normalização e esta liberdade de gauge.

7.2 Exercício 2: Solução Geral do Oscilador e Escolha do Vácuo (Essencial)

a) Escreva \(q_{\mathbf{k}}\) em termos de \(N_{\mathbf{k}}\) e \(M_{\mathbf{k}}\), substitua na condição de normalização e mostre que \(\omega_{\mathbf{k}}(|N_{\mathbf{k}}|^2 - |M_{\mathbf{k}}|^2) = 1/2\).

b) Por que \(N_{\mathbf{k}}\) não pode ser zero?

c) Na escolha \(M_{\mathbf{k}}=0\), mostre que \(N_{\mathbf{k}} = 1/\sqrt{2\omega_{\mathbf{k}}}\) e escreva \(f_{\mathbf{k}}\), \(q_{\mathbf{k}}\) explicitamente. Que tipo de vácuo esta escolha define?

7.3 Exercício 3: Complexo Conjugado e Inversão Temporal

a) Escreva \(f_{\mathbf{k}}^*\) e \(q_{\mathbf{k}}^*\) explicitamente e relacione-os com a inversão temporal \(x_0 \to -x_0\).

b) Mostre que \((f_{\mathbf{k}}^*, q_{\mathbf{k}}^*) = -(f_{\mathbf{k}}, q_{\mathbf{k}})\) em termos do produto simplético.

c) Por que a presença desta simetria implica a existência de partículas e antipartículas na teoria quântica de campos?

7.4 Exercício 4: Decomposição de Campos e Coeficientes

a) Mostre que \(\phi(x)\) é real se \(a_{\mathbf{k}}^\dagger = a_{\mathbf{k}}^*\).

b) Escreva \(\alpha_{\mathbf{k}}\) em termos do produto simplético entre \(f_{\mathbf{k}}^*\) e \(\phi\), e mostre que \(\alpha_{\mathbf{k}}\) é constante para soluções da equação de movimento livre.

c) O que acontece com \(\alpha_{\mathbf{k}}\) quando há uma fonte \(J\)?

7.5 Exercício 5: Solução com Fonte e Propagador Retardado (Essencial)

a) Defina \(\alpha_{\mathbf{k}}^J(x_0')\) e, derivando \(\phi_J\) em relação a \(x_0\) (regra de Leibniz no limite superior), mostre que \((\Box + m^2)\phi_J = J\).

b) Qual é a condição de contorno que torna a solução causal?

c) Partindo da decomposição em modos, mostre que \[ G_R(x-x') = \theta(x_0-x_0') \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega} \left[e^{-ik\cdot\Delta x} - e^{+ik\cdot\Delta x}\right]. \]

7.6 Exercício 6: Causalidade e o Cone de Luz

a) Mostre que a integral em \(\mathbf{k}\) do Exercício 5(c) pode ser escrita como \(\dfrac{\delta(x_0-x_0' - |\mathbf{x}-\mathbf{x}'|)}{4\pi|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\).

b) Por que o propagador se anula fora do cone de luz?

c) Como o potencial de Coulomb, aparentemente instantâneo, se reconcilia com este propagador causal?