Função Delta de Dirac, Funções de Green e Distribuições

Author

Sandro Vitenti

1 Introdução

Nesta aula, vamos conectar o Teorema Fundamental do Cálculo à função delta de Dirac e às funções de Green. A ideia central é que a delta não é um objeto mágico — ela é uma generalização natural da derivada da função degrau (Heaviside).

OBSERVAÇÃO DO PROFESSOR: “Isso não tem nada a ver com gravitação ou eletromagnetismo em si. Na verdade, é uma consequência indireta do espaço ser euclidiano e de como as coisas se espalham no espaço de acordo com a dimensão.”

2 A Função Degrau de Heaviside

A função degrau (ou função de Heaviside) é definida como: \[ \theta(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases} \]

Características:

  • É uma função com uma descontinuidade em \(x=0\).
  • Representa uma transição abrupta de 0 para 1.

3 A Função Delta de Dirac

A delta de Dirac \(\delta(x)\) é definida pela propriedade de filtragem (ou “sifting”): \[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x - x_0) \, f(x_0) \, dx_0 = f(x) \] Para qualquer função \(f\) suave (bem-comportada).

Interpretação: A delta “seleciona” o valor de \(f\) no ponto \(x = x_0\).

3.1 Delta como Derivada da Theta

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \frac{d}{dx} \int_{-\infty}^{x} f(x_0) \, dx_0 = f(x) \] Reescrevendo o limite superior com a função \(\theta\): \[ \int_{-\infty}^{\infty} \theta(x - x_0) \, f(x_0) \, dx_0 = \int_{-\infty}^{x} f(x_0) \, dx_0 \] Derivando ambos os lados: \[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d}{dx} \theta(x - x_0) \, f(x_0) \, dx_0 = f(x) \] Portanto: \[ \boxed{\frac{d}{dx} \theta(x - x_0) = \delta(x - x_0)} \]

4 Construindo a Theta a Partir de Funções Suaves

Podemos construir \(\theta(x)\) usando a função módulo:

  • Seja \(g(x) = |x|\).
  • A derivada de \(g(x)\) é \(\text{sgn}(x)\) (com ambiguidade em \(x=0\)).
  • Então: \[ \theta(x) = \frac{g'(x) + 1}{2} \]

Relação com o módulo: \[ |x| = \sqrt{x^2} \] Assim: \[ \theta(x) = \frac{1}{2}\left(\frac{d}{dx}\sqrt{x^2} + 1\right) \]

5 Aproximação Gaussiana para a Delta

Considere a Gaussiana (distribuição normal): \[ G_\sigma(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} \exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right) \]

Propriedades:

  • Normalizada: \(\int_{-\infty}^{\infty} G_\sigma(x) \, dx = 1\)
  • Simétrica: \(G_\sigma(-x) = G_\sigma(x)\)
  • Quando \(\sigma \to 0\), \(G_\sigma(x)\) fica mais estreita e mais alta, concentrando-se em \(x=0\).

5.1 Demonstração da Propriedade de Filtragem

Para qualquer função \(f(x)\) com série de Taylor: \[ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 + \cdots \]

Temos: \[ \lim_{\sigma \to 0} \int_{-\infty}^{\infty} G_\sigma(x) f(x) \, dx = f(0) \]

Por quê?

  • Termos ímpares se anulam por simetria (função par vezes função ímpar).
  • Termos pares são proporcionais a potências positivas de \(\sigma\), então vão a zero.
  • Apenas o termo constante \(f(0)\) sobrevive.

6 Funções de Green em 1D

A função de Green em 1D satisfaz: \[ \frac{d^2}{dx^2} G(x, x_0) = \delta(x - x_0) \] A solução é: \[ \boxed{G(x, x_0) = \frac{1}{2} |x - x_0|} \]

7 Dependência com a Dimensão

A função de Green depende da dimensionalidade do espaço:

Dimensão Função de Green Comportamento
1D \(\frac{1}{2}|x - x_0|\) Cresce com a distância
2D \(\frac{1}{2\pi} \log|x - x_0|\) Cresce logaritmicamente
3D \(\frac{1}{4\pi |x - x_0|}\) Decai como \(1/r\)

8 Interpretação Física

  • Funções delta representam partículas pontuais ou impulsos instantâneos.
  • São limites de processos físicos suaves (ex.: aceleração instantânea é o limite de uma aceleração muito grande em um tempo muito curto).
  • Isso é análogo a definir números irracionais como limites de sequências de números racionais.

9 O Truque do Cálculo da Integral Gaussiana

Para provar a normalização da Gaussiana, usamos o truque das coordenadas polares: \[ \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2\sigma^2} dx \right)^2 = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)/2\sigma^2} dx\,dy \] Em coordenadas polares \((r, \theta)\): \[ = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty e^{-r^2/2\sigma^2} r \, dr \, d\theta = 2\pi \sigma^2 \] Portanto: \[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2\sigma^2} dx = \sqrt{2\pi}\,\sigma \] Assim, o fator de normalização \(1/\sqrt{2\pi}\sigma\) está correto.

10 Visualização: Sequência Delta Gaussiana

Code 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-2, 2, 500)
sigmas = [1.0, 0.5, 0.2, 0.05]

plt.figure(figsize=(8, 5))
for sigma in sigmas:
    g = (1 / (np.sqrt(2 * np.pi) * sigma)) * np.exp(-(x**2) / (2 * sigma**2))
    plt.plot(x, g, label=f"σ = {sigma}")

plt.xlabel("x")
plt.ylabel("Gσ(x)")
plt.title("Sequência Delta Gaussiana")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Aproximação gaussiana da delta de Dirac para diferentes valores de sigma

11 Exercícios

11.1 Exercício 1: A Função Degrau e Sua Derivada (Essencial)

a) Refaça a derivação de \(\boxed{\dfrac{d}{dx}\theta(x-x_0) = \delta(x-x_0)}\) partindo do Teorema Fundamental do Cálculo, explicitando cada passo.

b) A partir de \(g(x)=|x|=\sqrt{x^2}\), mostre que \(g'(x)=\text{sgn}(x)\) para \(x\neq0\) e recupere \(\theta(x)=\dfrac{g'(x)+1}{2}\).

c) Generalize o resultado de (a) para \(\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\,\theta(x-x_0)\big]\), com \(f\) suave.

d) Por que a convenção do valor de \(\theta(0)\) (0, 1/2 ou indefinido) raramente afeta cálculos físicos?

11.2 Exercício 2: Filtragem e a Sequência Delta Gaussiana (Essencial)

a) Calcule \(\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-3)\,x^2\,dx\) e generalize o resultado para \(\int_{-\infty}^\infty \delta(ax)\,dx\).

b) Verifique que \(G_\sigma(x)\) é normalizada para qualquer \(\sigma>0\), e que \(G_\sigma(0)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}\sigma}\) diverge quando \(\sigma\to0\).

c) Refaça a demonstração da propriedade de filtragem via série de Taylor para uma função par \(f(x)=\cos(x)\) até ordem \(x^2\), explicando por que apenas o termo constante \(f(0)\) sobrevive no limite \(\sigma\to0\).

11.3 Exercício 3: O Truque da Integral Gaussiana

a) Refaça a mudança para coordenadas polares na integral dupla e calcule explicitamente \(\int_0^\infty e^{-r^2/2\sigma^2}\,r\,dr\).

b) Use o resultado para verificar a normalização de \(G_\sigma(x)\).

11.4 Exercício 4: Função de Green em 1D (Essencial)

a) Verifique por substituição direta que \(G(x,x_0) = \frac{1}{2}|x-x_0|\) satisfaz \(\frac{d^2}{dx^2}G = \delta(x-x_0)\).

b) Mostre que \(G(x,x_0)\) não é única: some uma função linear \(a+bx\) e verifique que a equação ainda é satisfeita. Que condições de contorno fixam essa constante de integração?

c) Interprete \(G(x,x_0)\) como o deslocamento de uma corda infinita sob uma força pontual em \(x_0\).

11.5 Exercício 5: Outras Sequências Delta

a) Mostre que a função retangular \(R_\epsilon(x) = \frac{1}{\epsilon}\) para \(|x|<\epsilon/2\) e \(0\) caso contrário também converge para \(\delta(x)\) quando \(\epsilon \to 0\).

b) Mostre que a Lorentziana \(L_\epsilon(x) = \dfrac{1}{\pi}\dfrac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}\) também é uma sequência delta válida.

c) Compare a velocidade de convergência (na cauda, longe de \(x=0\)) entre \(G_\sigma\), \(R_\epsilon\) e \(L_\epsilon\).

11.6 Exercício 6: Dependência com a Dimensão e Interpretação Física

a) Verifique, por aplicação direta do laplaciano radial, que \(G\propto\log|x-x_0|\) resolve a equação de Green em 2D e que \(G\propto1/|x-x_0|\) a resolve em 3D.

b) O que você espera que aconteça com a função de Green em 4D? Justifique sem fazer a conta completa (o caso geral será tratado na próxima aula).

c) Por que dizemos que a delta de Dirac “não é uma função” no sentido clássico? Em que sentido ela é, ainda assim, um objeto matemático rigoroso?