Propagadores Dependentes do Tempo e Estrutura Simplética

Author

Sandro Vitenti

1 Introdução

Nesta aula, exploramos os propagadores dependentes do tempo e a estrutura simplética subjacente às equações diferenciais de segunda ordem. O objetivo é desenvolver uma formulação que unifique o tratamento de soluções linearmente independentes e que prepare o terreno para a quantização de campos.

1.1 Objetivos da Aula

  • Revisitar a formulação simplética para equações de segunda ordem
  • Construir soluções complexificadas e entender sua relação com a propagação temporal
  • Analisar as propriedades de transformação sob reversão temporal
  • Compreender a conexão com a física de partículas e o conceito de antipartículas

2 Formulação Simplética

2.1 Estrutura da Equação

Consideramos uma equação de segunda ordem na forma: \[ y'' + p_1(x) y' + p_0(x) y = 0 \] que pode ser reescrita no espaço de fase como: \[ \begin{pmatrix} y' \\ q' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1/m \\ -m\omega^2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y \\ q \end{pmatrix} \] onde \(q = m y'\) é o momento canônico.

Definimos o vetor de estado: \[ V = \begin{pmatrix} y \\ q \end{pmatrix} \]

2.2 Matriz Simplética

A estrutura simplética é codificada pela matriz: \[ \Omega = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \] Esta matriz é antissimétrica (\(\Omega^T = -\Omega\)) e desempenha um papel fundamental na definição do Wronskiano conservado.

Note

O Wronskiano de duas soluções \(V_1\) e \(V_2\) é dado por:

\[ W(V_1, V_2) = V_1^T \Omega V_2 \]

e é uma constante do movimento (conservado).

2.3 Hamiltonianos e Propriedades

O Hamiltoniano associado é: \[ H = \begin{pmatrix} m\omega^2 & 0 \\ 0 & 1/m \end{pmatrix} \] A equação de movimento pode ser escrita como: \[ V' = \Omega H V \]

3 Soluções Linearmente Independentes

3.1 Base no Espaço de Soluções

Para duas soluções linearmente independentes \(V_1\) e \(V_2\), temos: \[ V_1^T \Omega V_2 = \text{constante} \] Podemos normalizar convenientemente: \[ V_1^T \Omega V_2 = \frac{1}{2} \]

3.2 Solução Geral

Qualquer solução \(U\) pode ser escrita como combinação linear: \[ U = \alpha_1 V_1 + \alpha_2 V_2 \] Os coeficientes \(\alpha_i\) são constantes e podem ser obtidos via: \[ \alpha_1 = -2 (V_2^T \Omega U), \quad \alpha_2 = 2 (V_1^T \Omega U) \]

4 Complexificação do Espaço de Soluções

4.1 Construção da Solução Complexa

Definimos a solução complexificada: \[ V = V_1 - i V_2 \] Esta solução satisfaz a mesma equação diferencial no espaço complexo: \[ V' = \Omega H V \]

4.2 Produto Simplético Hermitiano

Introduzimos o produto: \[ \langle V, U \rangle = i V^\dagger \Omega U \] onde \(V^\dagger = (V^*)^T\) é o conjugado Hermitiano.

Important

Para soluções com normalização \(V_1^T\Omega V_2 = 1/2\), temos:

\[ \langle V, V \rangle = 1 \]

4.3 Subespaços de Norma Positiva e Negativa

O espaço complexificado \(C^2\) se decompõe em dois subespaços:

  • Norma positiva: \(\langle V, V \rangle = 1\)
  • Norma negativa: \(\langle V^*, V^* \rangle = -1\)
Warning

Esta estrutura é análoga à que aparece na mecânica quântica relativística, onde soluções de energia positiva e negativa correspondem a partículas e antipartículas.

5 Propagação no Tempo

5.1 Função de Green (Solução Futura)

Consideramos uma solução com interação instantânea em \(x_0\): \[ U(x) = \Theta(x - x_0) [\alpha V(x) + \alpha^* V^*(x)] \] onde \(V\) é a solução complexa. Esta solução satisfaz: \[ U' - \Omega H U = \delta(x - x_0) U_0 \]

5.2 Solução Passada (Avançada)

A solução que propaga informações do futuro para o passado é: \[ U(x) = \Theta(x_0 - x) [\alpha V(x) + \alpha^* V^*(x)] \] satisfazendo: \[ U' - \Omega H U = -\delta(x - x_0) U_0 \]

Note

A diferença de sinal entre as soluções futura e passada é fundamental para a construção de propagadores em teoria quântica de campos.

6 Simetria de Reversão Temporal

6.1 Transformação das Componentes

Sob reversão temporal \(x \to -x\), o vetor \(V\) se transforma como: \[ V_R(x_R) = T V(x), \quad x_R = -x \] com: \[ T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \]

6.2 Comportamento da Equação

A equação de movimento é invariante sob reversão temporal se: \[ T H(x) T = H(-x) \]

Important

A invariância por reversão temporal leva à relação entre soluções futuras e passadas, fundamental para a construção de operadores de criação e aniquilação.

7 Visualização Computacional

7.1 Propagador do Oscilador Harmônico

Code 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import solve_ivp


# Definindo o oscilador harmônico
def harmonic_oscillator(t, y, omega=1.0):
    return [y[1], -(omega**2) * y[0]]


# Configuração do problema
omega = 1.0
t_span = (0, 10)
t_eval = np.linspace(0, 10, 1000)

# Solução para diferentes condições iniciais
conditions = [
    (1.0, 0.0, "Posição inicial"),
    (0.0, 1.0, "Velocidade inicial"),
    (0.5, 0.5, "Condição mista"),
]

plt.figure(figsize=(10, 6))
for y0, v0, label in conditions:
    sol = solve_ivp(harmonic_oscillator, t_span, [y0, v0], t_eval=t_eval, args=(omega,))
    plt.plot(sol.t, sol.y[0], label=label)

plt.xlabel("Tempo (t)")
plt.ylabel("Posição (y)")
plt.title("Oscilador Harmônico - Diferentes Condições Iniciais")
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.legend()
plt.show()

7.2 Propagadores Futuro e Passado

Code 
# Simulação de um pulso instantâneo (função de Green)
def green_function_solution(t, t0=3.0, amplitude=1.0, omega=1.0):
    """Solução futura (causal) com pulso em t0"""
    y = np.zeros_like(t)
    for i, ti in enumerate(t):
        if ti >= t0:
            y[i] = amplitude * np.sin(omega * (ti - t0)) / omega
    return y


def green_function_advanced(t, t0=3.0, amplitude=1.0, omega=1.0):
    """Solução passada (avançada) com pulso em t0"""
    y = np.zeros_like(t)
    for i, ti in enumerate(t):
        if ti <= t0:
            y[i] = amplitude * np.sin(omega * (t0 - ti)) / omega
    return y


t = np.linspace(0, 6, 1000)
t0 = 3.0

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(
    t, green_function_solution(t, t0), label="Propagador Futuro (Causal)", linewidth=2
)
plt.plot(
    t,
    green_function_advanced(t, t0),
    label="Propagador Passado (Avançado)",
    linewidth=2,
)
plt.axvline(x=t0, color="red", linestyle="--", alpha=0.5, label=f"Pulso em t={t0}")
plt.xlabel("Tempo (t)")
plt.ylabel("Resposta")
plt.title("Propagadores do Oscilador Harmônico")
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.legend()
plt.show()

8 Resumo dos Conceitos

Conceito Descrição Aplicação
Matriz Simplética (\(\Omega\)) Codifica a estrutura simplética do espaço de fase Wronskiano conservado
Solução Complexa (\(V\)) Combinação \(V_1 - iV_2\) Unifica duas soluções independentes
Produto Hermitiano \(\langle V,U \rangle = iV^\dagger\Omega U\) Define norma e ortogonalidade
Norma Positiva/Negativa \(\langle V,V\rangle = \pm 1\) Partículas/Antipartículas
Prop. Futuro (Causal) \(\Theta(x-x_0)\) Propagação para frente no tempo
Prop. Passado (Avançado) \(\Theta(x_0-x)\) Propagação para trás no tempo
Reversão Temporal \(T = \text{diag}(1,-1)\) Simetria fundamental

9 Exercícios

9.1 Exercício 1: Wronskiano e Solução Geral (Essencial)

a) Mostre que o Wronskiano \(W(V_1,V_2) = V_1^T\Omega V_2\) é constante para soluções da equação \(V' = \Omega H V\), e que \(W(V_1,V_1) = 0\) usando a antissimetria de \(\Omega\).

b) Dada a normalização \(V_1^T\Omega V_2 = 1/2\), expresse a solução geral \(U = \alpha_1 V_1 + \alpha_2 V_2\) e calcule os coeficientes \(\alpha_1\), \(\alpha_2\) para uma condição inicial genérica.

9.2 Exercício 2: Complexificação e Normas (Essencial)

a) Verifique que \(V = V_1 - iV_2\) satisfaz a mesma equação diferencial que \(V_1\) e \(V_2\).

b) Calcule \(\langle V, V \rangle = iV^\dagger\Omega V\) e mostre que é igual a \(1\).

c) Para \(\tilde{V} = V^*\), calcule \(\langle \tilde{V}, \tilde{V} \rangle\) e interprete fisicamente este resultado (norma negativa).

9.3 Exercício 3: Propagadores Futuro e Passado (Essencial)

a) Mostre que a solução \(U(x) = \Theta(x-x_0)[\alpha V(x) + \alpha^* V^*(x)]\) satisfaz a equação com fonte \(U' - \Omega H U = \delta(x-x_0)U_0\), e determine a constante \(U_0\) em termos de \(\alpha\).

b) Construa a solução com condições no futuro, \(U(x) = \Theta(x_0-x)[\alpha V(x) + \alpha^* V^*(x)]\), e mostre que ela satisfaz \(U' - \Omega H U = -\delta(x-x_0)U_0\).

9.4 Exercício 4: Condições de Contorno Espaciais

Para o problema de uma corda presa em \(x=0\) e \(x=L\), explique como combinar os propagadores futuro e passado, e por que a solução geral envolve ambas as direções de propagação.

9.5 Exercício 5: Reversão Temporal e Rotações

a) Verifique que \(T = \text{diag}(1,-1)\) transforma \(V = (y,q)^T\) em \(V_R = (y,-q)^T\), e mostre que \(T\Omega T = -\Omega\) e \(THT = H\) para o oscilador harmônico.

b) Para uma rotação \(R\) no espaço de fase, mostre que \(R^T\Omega R = \Omega\), e compare com a transformação temporal \(T\): em que sentido elas são estruturalmente diferentes?

9.6 Exercício 6: Oscilador Forçado e Conexão com a Mecânica Quântica

a) Resolva a equação \(y'' + \omega^2 y = f(x)\) usando os propagadores construídos nesta aula, identificando os termos futuro e passado na solução geral.

b) Identifique o análogo do comutador \([x,p]\) no formalismo simplético, e explique como a estrutura de norma positiva/negativa (Exercício 2) se relaciona com a quantização.