Propagador Escalar e Causalidade

Author

Sandro Vitenti

1 Introdução

Nesta aula, finalizamos a construção do propagador escalar no espaço-tempo, obtendo sua forma explícita e discutindo suas implicações físicas. O objetivo principal é entender como um distúrbio localizado se propaga no campo e como isso se relaciona com a causalidade e com o potencial eletrostático.

Os tópicos abordados são:

  1. Revisão da construção do propagador a partir da decomposição de Fourier.
  2. Cálculo explícito do propagador no espaço-tempo.
  3. Interpretação causal: propagação na velocidade da luz.
  4. Generalização para fontes estendidas (linhas de mundo).
  5. Conexão com o potencial eletrostático e a questão da ação instantânea.

2 Revisão: Construção do Propagador

2.1 Definição do Propagador

O propagador escalar, que denotamos por \(\phi_J(x)\), é a solução da equação de onda com uma fonte pontual: \[ \Box \phi_J(x) = \delta^4(x - x_0) \quad \text{com} \quad \phi_J(x) \to 0 \text{ quando } t \to -\infty \] onde \(\Box = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2\) é o operador d’Alembertiano (ou operador de onda).

Na notação relativística, com \(x^0 = ct\), o operador é \(\Box = \partial_\mu \partial^\mu\).

2.2 Decomposição de Fourier

O propagador é construído como uma superposição de modos de Fourier, que são soluções da equação de onda homogênea. Para cada modo com vetor de onda \(\mathbf{k}\), a solução geral é uma combinação linear de ondas planas: \[ \phi_{\mathbf{k}}(t) = N_k \left( e^{-ik t} + \mathcal{M}_k e^{+ik t} \right) \] onde \(k = |\mathbf{k}|\) e \(N_k\) é uma constante de normalização.

A escolha das condições de contorno (causalidade) seleciona apenas um dos modos. A condição \(\phi_J(x) \to 0\) quando \(t \to -\infty\) implica que \(\mathcal{M}_k = 0\), ou seja, apenas o modo de frequência positiva (viajando para o futuro) contribui.

A normalização dos modos de Fourier é fixada pela condição de completeza: \[ \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \phi_{\mathbf{k}}(t) \phi_{\mathbf{k}'}^*(t) = \delta^3(\mathbf{k} - \mathbf{k}') \] que leva a: \[ N_k = \frac{1}{\sqrt{2k}} \]

2.3 O Propagador como Transformada de Fourier

Com as soluções modais, o propagador pode ser escrito como: \[ \phi_J(x) = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \int_{-\infty}^{x^0} dx'^0 \left[ \phi_{\mathbf{k}}(x^0) \phi_{\mathbf{k}}^*(x'^0) - \phi_{\mathbf{k}}^*(x^0) \phi_{\mathbf{k}}(x'^0) \right] J(x') \] onde \(J(x') = - \delta^4(x' - x_0)\) para uma fonte pontual. Esta expressão é a base para o cálculo do propagador no espaço-tempo.

3 Cálculo Explícito do Propagador

3.1 Substituição dos Modos de Fourier

Substituindo as expressões para \(\phi_{\mathbf{k}}(t)\) e \(\phi_{\mathbf{k}}^*(t)\), e usando a fonte pontual \(J(x') = - \delta^4(x' - x_0)\), obtemos a integral: \[ \phi_J(x) = i \Theta(x^0 - x_0^0) \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \frac{1}{2k} \left[ e^{ik(x^0 - x_0^0) + i \mathbf{k}\cdot(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0)} - e^{-ik(x^0 - x_0^0) - i \mathbf{k}\cdot(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0)} \right] \] onde \(\Theta\) é a função degrau de Heaviside.

3.2 Integração Angular

Vamos agora realizar a integração angular. Escrevendo \(d^3k = k^2 \, dk \, d\Omega\) e escolhendo o sistema de coordenadas com o eixo \(z\) ao longo do vetor \(\Delta \mathbf{x} = \mathbf{x} - \mathbf{x}_0\), temos \(\mathbf{k} \cdot \Delta \mathbf{x} = k |\Delta \mathbf{x}| \cos\theta\). A integral angular é: \[ \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^\pi \sin\theta \, d\theta \, e^{\pm i k |\Delta \mathbf{x}| \cos\theta} = 4\pi \frac{\sin(k|\Delta \mathbf{x}|)}{k|\Delta \mathbf{x}|} \]

Este é um resultado fundamental: a integral angular transforma a onda plana em uma onda esférica, expressa pelo fator \(\sin(k|\Delta \mathbf{x}|)/(k|\Delta \mathbf{x}|)\).

3.3 Integral Radial e a Delta de Dirac

Substituindo o resultado da integração angular, ficamos com: \[ \phi_J(x) = \frac{i \Theta(\Delta x^0)}{2\pi^2 |\Delta \mathbf{x}|} \int_0^\infty dk \, e^{ik\Delta x^0} \sin(k|\Delta \mathbf{x}|) \] onde definimos \(\Delta x^0 = x^0 - x_0^0\) e \(|\Delta \mathbf{x}| = |\mathbf{x} - \mathbf{x}_0|\). Agora, escrevemos o seno como combinação de exponenciais: \[ \sin(k|\Delta \mathbf{x}|) = \frac{e^{ik|\Delta \mathbf{x}|} - e^{-ik|\Delta \mathbf{x}|}}{2i} \] e estendemos a integral para todo o eixo real, notando que o integrando é uma função par: \[ \int_0^\infty dk \, e^{ik(\Delta x^0 \pm |\Delta \mathbf{x}|)} = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} dk \, e^{ik(\Delta x^0 \pm |\Delta \mathbf{x}|)} \] Usando a definição da delta de Dirac: \[ \int_{-\infty}^{\infty} dk \, e^{ik a} = 2\pi \delta(a) \] obtemos: \[ \phi_J(x) = \frac{\Theta(\Delta x^0)}{4\pi |\Delta \mathbf{x}|} \left[ \delta(\Delta x^0 + |\Delta \mathbf{x}|) - \delta(\Delta x^0 - |\Delta \mathbf{x}|) \right] \]

3.4 Resultado Final: Propagador Causal

Como \(\Theta(\Delta x^0)\) seleciona apenas \(\Delta x^0 > 0\), o primeiro termo com \(\delta(\Delta x^0 + |\Delta \mathbf{x}|)\) nunca contribui (pois o argumento é positivo). Portanto, o propagador causal é: \[ \boxed{ \phi_J(x) = - \frac{1}{4\pi |\mathbf{x} - \mathbf{x}_0|} \delta\left( \Delta x^0 - |\Delta \mathbf{x}| \right) } \] com \(\Delta x^0 = x^0 - x_0^0 = c(t - t_0)\) e \(|\Delta \mathbf{x}| = |\mathbf{x} - \mathbf{x}_0|\).

Este é o resultado central da aula. O propagador é uma distribuição que é não nula apenas sobre o cone de luz futuro do evento fonte.

4 Interpretação Física: Causalidade

4.1 Propagação na Velocidade da Luz

O propagador encontrado é: \[ \phi_J(x) = - \frac{1}{4\pi |\mathbf{x} - \mathbf{x}_0|} \delta\left( c(t - t_0) - |\mathbf{x} - \mathbf{x}_0| \right) \] A delta de Dirac impõe a condição: \[ c(t - t_0) = |\mathbf{x} - \mathbf{x}_0| \] que é exatamente a condição para que um sinal se propague do ponto \(\mathbf{x}_0\) no tempo \(t_0\) até o ponto \(\mathbf{x}\) no tempo \(t\) com a velocidade da luz \(c\).

Para tempos futuros (\(t > t_0\)), o propagador é não nulo apenas sobre a casca esférica de raio \(c(t - t_0)\) centrada em \(\mathbf{x}_0\). Esta casca se expande com a velocidade da luz.

4.2 O Cone de Luz Futuro

Geometricamente, no espaço-tempo de Minkowski, o propagador é suportado no cone de luz futuro do evento \(x_0\). O cone de luz é definido por: \[ \Delta s^2 = c^2(t - t_0)^2 - |\mathbf{x} - \mathbf{x}_0|^2 = 0 \] com \(\Delta t > 0\).

Fora do cone de luz (regiões espacialmente separadas), o propagador é identicamente nulo. Isso garante a causalidade: um distúrbio em \(x_0\) só pode afetar pontos que estão em seu cone de luz futuro.

A equação de onda admite soluções com propagação na velocidade da luz, que é a velocidade máxima de propagação de informação na teoria da relatividade restrita. A existência de um propagador com suporte no cone de luz é uma manifestação da causalidade na teoria de campos.

5 Generalização para Fontes Estendidas

5.1 Linhas de Mundo

Uma partícula pontual descreve uma linha de mundo no espaço-tempo, parametrizada pelo tempo próprio \(\tau\): \[ y^\mu(\tau) = (c t(\tau), \mathbf{y}(\tau)) \] A quadricorrente associada a uma partícula carregada é: \[ J^\mu(x) = q \int_{-\infty}^{\infty} d\tau \, \frac{dy^\mu}{d\tau} \, \delta^4(x - y(\tau)) \]

5.2 Potencial de uma Carga em Movimento

O campo produzido por uma partícula em movimento é obtido integrando o propagador sobre a linha de mundo: \[ \phi(x) = \int d^4x_0 \, \phi_J(x - x_0) J(x_0) \] Substituindo a corrente: \[ \phi(x) = - \frac{q}{4\pi} \int_{-\infty}^{\infty} d\tau \, \frac{\delta\left( \Delta x^0(\tau) - |\Delta \mathbf{x}(\tau)| \right)}{|\mathbf{x} - \mathbf{y}(\tau)|} \] onde \(\Delta x^0(\tau) = x^0 - y^0(\tau)\) e \(\Delta \mathbf{x}(\tau) = \mathbf{x} - \mathbf{y}(\tau)\).

5.3 O Princípio da Ação a Distância (Retardada)

A integral é não nula apenas quando existe um tempo próprio \(\tau\) tal que: \[ x^0 - y^0(\tau) = |\mathbf{x} - \mathbf{y}(\tau)| \] isto é, quando o ponto de observação \(x\) está sobre o cone de luz futuro de um ponto da linha de mundo. Isso define o tempo retardado \(\tau_r\), que é a solução da equação: \[ t - t_r = \frac{|\mathbf{x} - \mathbf{y}(t_r)|}{c} \] O potencial em \(x\) é, portanto, causado pela posição da partícula em um tempo anterior \(t_r\), não pela posição simultânea.

Este é o princípio fundamental da eletrodinâmica clássica: o campo eletromagnético se propaga com a velocidade da luz. Uma carga em movimento não produz um campo instantâneo, mas um campo retardado.

6 Conexão com a Eletrostática

6.1 O Limite Estático

No caso em que a partícula está em repouso, sua linha de mundo é: \[ y^\mu(\tau) = (c\tau, \mathbf{y}_0) \] onde \(\mathbf{y}_0\) é a posição constante da partícula. A condição \(\Delta x^0(\tau) = |\Delta \mathbf{x}(\tau)|\) torna-se: \[ x^0 - c\tau = |\mathbf{x} - \mathbf{y}_0| \] que pode ser resolvida para \(\tau\): \[ c\tau = x^0 - |\mathbf{x} - \mathbf{y}_0| \] O potencial é então: \[ \phi(\mathbf{x}) = - \frac{q}{4\pi} \frac{1}{|\mathbf{x} - \mathbf{y}_0|} \] que é exatamente o potencial eletrostático de Coulomb.

6.2 A Ilusão da Ação Instantânea

No caso estático, a posição da partícula não varia com o tempo. Portanto, a posição retardada é a mesma que a posição simultânea. Isso cria a ilusão de que a força é instantânea.

A aparente ação instantânea na eletrostática é uma consequência do fato de que a fonte está em repouso. Se a partícula se move, o campo não é mais dado pelo potencial de Coulomb, e a dependência temporal do campo reflete a propagação com velocidade finita.

Este fenômeno é análogo ao que acontece com uma onda em um meio: quando a fonte está em repouso, o campo parece estático, mas na verdade é sustentado por uma onda que se propaga continuamente da fonte para o observador.

7 Visualização do Propagador

O código abaixo gera uma visualização da propagação de uma perturbação a partir de uma fonte pontual. A animação mostra o campo como uma função da posição para diferentes tempos.

Code 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation
from IPython.display import HTML

# Parâmetros
c = 1.0  # velocidade da luz
t0 = 0.0  # tempo da fonte
x0 = 0.0  # posição da fonte

# Grid espacial
x = np.linspace(-5, 5, 500)


# Função campo para um dado tempo
def campo(t, x, t0=0, x0=0, c=1):
    """Propagador causal

    Campo não nulo apenas sobre a casca esférica
    Para visualização, usamos uma gaussiana estreita para representar a delta.
    """
    sigma = 0.05
    r = np.abs(x - x0)
    arg = c * (t - t0) - r
    return np.exp(-(arg**2) / (2 * sigma**2)) / (4 * np.pi * r + 1e-10)


# Criação da figura
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6))
ax.set_xlim(-5, 5)
ax.set_ylim(0, 0.5)
ax.set_xlabel("Posição x")
ax.set_ylabel("Campo φ(x)")
ax.set_title("Propagação da Perturbação")
ax.grid(True, alpha=0.3)

# Linha para o campo
(line,) = ax.plot([], [], "b-", linewidth=2)


# Função de inicialização
def init():
    line.set_data([], [])
    return (line,)


# Função de animação
def animate(frame):
    t = frame * 0.1  # tempo
    y = campo(t, x)
    line.set_data(x, y)
    ax.set_title(f"Propagação da Perturbação (t = {t:.1f})")
    return (line,)


# Criação da animação
anim = FuncAnimation(fig, animate, init_func=init, frames=60, interval=50, blit=True)

# Para exibir no notebook
HTML(anim.to_jshtml())
(a) Propagação de uma perturbação a partir de uma fonte pontual. A casca esférica se expande com a velocidade da luz.
(b)
Figure 1

8 Resumo dos Conceitos-Chave

Conceito Descrição
Propagador Escalar Solução da equação de onda com uma fonte pontual delta.
Decomposição de Fourier O propagador é uma superposição de modos de Fourier com frequência positiva.
Condição de Causalidade O propagador é não nulo apenas no cone de luz futuro.
Propagação na Velocidade da Luz A perturbação se propaga com a velocidade da luz, \(c\).
Tempo Retardado O campo em um ponto é causado pela fonte em um tempo anterior.
Eletrostática No limite estático, o propagador dá o potencial de Coulomb.

9 Exercícios

9.1 Exercício 1

Mostre que a solução da equação de onda homogênea \(\Box \phi = 0\) pode ser escrita como uma superposição de ondas planas da forma \(\phi_{\mathbf{k}}(t, \mathbf{x}) = f_{\mathbf{k}}(t) e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\).

  1. Escreva a equação diferencial para \(f_{\mathbf{k}}(t)\).

  2. Determine a solução geral para \(f_{\mathbf{k}}(t)\).

9.2 Exercício 2

Considere o propagador causal encontrado na aula:

\[ \phi_J(x) = - \frac{1}{4\pi |\mathbf{x} - \mathbf{x}_0|} \delta\left( c(t - t_0) - |\mathbf{x} - \mathbf{x}_0| \right) \]

  1. Mostre que \(\phi_J(x)\) satisfaz a equação \(\Box \phi_J = \delta^4(x - x_0)\).

  2. Qual é o suporte de \(\phi_J(x)\) no espaço-tempo?

9.3 Exercício 3

Uma partícula pontual se move com velocidade constante \(\mathbf{v}\). A linha de mundo é \(y^\mu(\tau) = (\gamma c\tau, \gamma \mathbf{v}\tau)\).

  1. Calcule o potencial \(\phi(x)\) produzido pela partícula.

  2. Mostre que, no limite \(v \ll c\), o potencial se reduz ao potencial de Coulomb.

9.4 Exercício 4

Considere duas partículas carregadas, uma em \(\mathbf{x}_1 = 0\) (em repouso) e outra em \(\mathbf{x}_2 = \mathbf{a}\) (em repouso).

  1. Calcule a força elétrica sobre a partícula 2 usando o potencial retardado.

  2. A força é instantânea? Justifique sua resposta.

9.5 Exercício 5

Demonstre que a integral angular utilizada no cálculo do propagador é:

\[ \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^\pi \sin\theta \, d\theta \, e^{i k r \cos\theta} = 4\pi \frac{\sin(k r)}{k r} \]

9.6 Exercício 6

Uma partícula carregada oscila harmonicamente: \(\mathbf{y}(t) = A \cos(\omega t) \hat{\mathbf{z}}\).

  1. Escreva a quadricorrente da partícula.

  2. Mostre que o potencial produzido tem componentes que dependem do tempo retardado.

9.7 Exercício 7

Explique por que o potencial de Coulomb parece implicar ação instantânea, mesmo sendo obtido a partir de um propagador causal.

9.8 Exercício 8

Considere o propagador avançado, definido por:

\[ \phi_J^{\text{adv}}(x) = - \frac{1}{4\pi |\mathbf{x} - \mathbf{x}_0|} \delta\left( c(t - t_0) + |\mathbf{x} - \mathbf{x}_0| \right) \]

  1. Qual é o suporte deste propagador?

  2. Por que ele não é usado como solução causal?

9.9 Exercício 9

Mostre que o propagador causal pode ser escrito como:

\[ \phi_J(x) = - \frac{1}{4\pi} \int_{-\infty}^{\infty} d\tau \, \frac{\delta\left( \Delta x^0(\tau) - |\Delta \mathbf{x}(\tau)| \right)}{|\mathbf{x} - \mathbf{y}(\tau)|} \]

para uma linha de mundo \(y^\mu(\tau)\).

9.10 Exercício 10

  1. Explique o que é o tempo retardado.

  2. Qual é a equação que define o tempo retardado para uma partícula em movimento?

  3. Como o tempo retardado se relaciona com a causalidade?

9.11 Exercício 11

Considere uma fonte estendida com densidade de corrente \(J(x)\).

  1. Escreva a solução geral para o campo \(\phi(x)\) usando o propagador.

  2. Qual é a interpretação física da integral?

9.12 Exercício 12

Demonstre que, para uma partícula em repouso, a condição do cone de luz:

\[ c(t - t_0) = |\mathbf{x} - \mathbf{x}_0| \]

é resolvida por \(c t_0 = c t - |\mathbf{x} - \mathbf{x}_0|\), e que isso leva ao potencial de Coulomb.