Funções de Green em Teoria de Campos

Author

Sandro Vitenti

1 Introdução

1.1 Objetivos da Aula

Nesta aula, daremos continuidade ao estudo das funções de Green, agora estendendo o formalismo para teorias de campos. Os principais objetivos são:

  • Estender o formalismo de soluções de equações diferenciais para o contexto de campos
  • Compreender como construir bases completas no espaço de funções
  • Introduzir o conceito de produto interno para campos
  • Construir o formalismo simplético para a equação de onda
  • Generalizar a função de Green para o espaço-tempo

1.2 Contextualização

Na aula anterior, trabalhamos com o formalismo para equações diferenciais ordinárias, onde o espaço de soluções era bidimensional (posição e momento). Agora, ao lidar com campos, temos que considerar um espaço de funções de dimensão infinita, o que torna a construção mais sofisticada.

Note

A transição de partículas para campos envolve mudar de um espaço de fase de dimensão finita (\(\mathbb{R}^2\)) para um espaço de funções de dimensão infinita. Isso requer novas ferramentas matemáticas e conceitos mais abstratos.

2 Revisão do Formalismo de Partículas

2.1 Estrutura Simplética para Partículas

Para uma partícula, definimos o vetor no espaço de fase: \[V = \begin{pmatrix} y \\ q \end{pmatrix}\] onde \(y\) é a posição e \(q\) é o momento (ou derivada temporal).

2.1.1 Matriz Simplética

A estrutura simplética é dada pela matriz: \[\Omega = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\]

2.1.2 Produto Interno Simplético

O produto interno simplético entre dois vetores \(V_1\) e \(V_2\) é: \[(V_1, V_2)_\Omega = V_1^T \Omega V_2 = y_1 q_2 - y_2 q_1\] Este produto interno é conservado quando ambos os vetores são soluções da equação de movimento.

2.2 Decomposição de Vetores Arbitrários

Mesmo que \(S\) não seja uma solução da equação homogênea, podemos decompô-lo na base de soluções: \[S(x) = (V_1 \cdot S) V_2 - (V_2 \cdot S) V_1\] onde \(V_1\) e \(V_2\) são soluções da equação homogênea.

Important

Para que esta decomposição seja válida no mesmo instante de tempo, precisamos que \(V_1\) e \(V_2\) sejam avaliados no mesmo tempo. A conservação do Wronskiano garante que a independência linear se mantém ao longo do tempo.

2.3 Função de Green para Partículas

A função de Green avançada é construída como: \[U(x) = \int_{-\infty}^{x} [V_1^T(\xi) S(\xi) V_2(x) - V_2^T(\xi) S(\xi) V_1(x)] d\xi\] Esta construção garante que:

  1. \(U\) satisfaz a equação não-homogênea
  2. \(U(-\infty) = 0\) (condição de contorno no passado)
Tip

A escolha do limite inferior como \(-\infty\) corresponde à condição de que a solução é zero no passado distante. Poderíamos escolher qualquer instante inicial \(x_0\), mas a escolha \(-\infty\) é conveniente para problemas de espalhamento.

3 Extensão para Teoria de Campos

3.1 O Espaço de Funções

Na teoria de campos, a função de campo é: \[\phi: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}\] que associa a cada ponto do espaço-tempo um valor (escalar).

3.1.1 Condições Iniciais

Diferente do caso de partículas, agora precisamos especificar:

  1. O valor do campo em cada ponto do espaço: \(\phi(0, \mathbf{x}) = f_0(\mathbf{x})\)
  2. A derivada temporal do campo: \(\dot{\phi}(0, \mathbf{x}) = g_0(\mathbf{x})\)

\[\phi_0: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}, \quad \dot{\phi}_0: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\]

Note

A especificação de duas funções como condições iniciais é análoga a especificar posição e momento, mas agora em cada ponto do espaço.

3.2 Produto Interno para Campos

3.2.1 Definição Geral

Definimos o produto interno para funções de campo como: \[\langle f, g \rangle = \int_{\mathbb{R}^3} f^*(\mathbf{x}) g(\mathbf{x}) W(\mathbf{x}) d^3x\] onde \(W(\mathbf{x})\) é uma função de peso.

3.2.2 Escolha do Peso

Para a geometria euclidiana e o operador laplaciano, a escolha natural é \(W(\mathbf{x}) = 1\): \[\langle f, g \rangle = \int_{\mathbb{R}^3} f^*(\mathbf{x}) g(\mathbf{x}) d^3x\]

Important

A escolha do peso está relacionada ao operador que queremos que seja auto-adjunto. Para o laplaciano na geometria euclidiana, o peso é constante.

3.2.3 Auto-adjuntividade do Laplaciano

O operador laplaciano é auto-adjunto no produto interno definido acima: \[\langle f, \nabla^2 g \rangle = \langle \nabla^2 f, g \rangle\] desde que as funções decaiam suficientemente rápido no infinito (condições de contorno adequadas).

3.3 Formalismo Simplético para Campos

3.3.1 Vetor de Estado no Espaço de Fase

Para campos, definimos o vetor no espaço de fase como: \[Q = \begin{pmatrix} \phi \\ \pi \end{pmatrix}\] onde \(\pi = \dot{\phi}\) é o momento conjugado (ou derivada temporal).

3.3.2 Produto Interno Simplético

O produto interno simplético para campos é: \[(Q_1, Q_2)_\Omega = -i \int_{\mathbb{R}^3} Q_1^\dagger \Omega Q_2 d^3x\] onde: \[\Omega = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\] Expandindo: \[(Q_1, Q_2)_\Omega = -i \int_{\mathbb{R}^3} (\phi_1 \pi_2 - \phi_2 \pi_1) d^3x\]

Warning

O fator \(-i\) na definição do produto interno é crucial para garantir que o produto seja positivo definido quando trabalhamos com funções complexas.

3.4 Equação de Onda no Formalismo Simplético

3.4.1 Equação de Onda

A equação de onda é: \[\frac{\partial^2 \phi}{\partial x_0^2} = \nabla^2 \phi\] onde \(x_0 = ct\) é a coordenada temporal em unidades de comprimento.

3.4.2 Decomposição em Primeira Ordem

Definindo \(\pi = \partial_{x_0} \phi\), podemos escrever o sistema como: \[\dot{\phi} = \pi\] \[\dot{\pi} = \nabla^2 \phi\]

No formalismo matricial: \[\begin{pmatrix} \dot{\phi} \\ \dot{\pi} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\nabla^2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phi \\ \pi \end{pmatrix}\]

3.4.3 Matriz Hamiltoniana

A matriz que gera a evolução temporal é: \[H = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\nabla^2 & 0 \end{pmatrix}\] Esta matriz satisfaz \(H = \Omega \mathcal{H}\), onde \(\mathcal{H}\) é um operador Hermitiano.

3.5 Conservação do Wronskiano de Campos

O Wronskiano de campos é definido como: \[W(\phi_1, \pi_1; \phi_2, \pi_2) = \int_{\mathbb{R}^3} (\phi_1 \pi_2 - \phi_2 \pi_1) d^3x\] Sua derivada temporal é: \[\frac{dW}{dx_0} = \int_{\mathbb{R}^3} [\pi_1 \pi_2 + \phi_1 \nabla^2 \phi_2 - \pi_2 \pi_1 - \phi_2 \nabla^2 \phi_1] d^3x\] \[\frac{dW}{dx_0} = \int_{\mathbb{R}^3} [\phi_1 \nabla^2 \phi_2 - \phi_2 \nabla^2 \phi_1] d^3x\] Usando a auto-adjuntividade do laplaciano: \[\int_{\mathbb{R}^3} \phi_1 \nabla^2 \phi_2 d^3x = \int_{\mathbb{R}^3} (\nabla^2 \phi_1) \phi_2 d^3x\] Portanto: \[\frac{dW}{dx_0} = 0\] Ou seja, o Wronskiano é conservado.

Tip

A conservação do Wronskiano garante que uma base linearmente independente no instante inicial permanecerá linearmente independente para todo tempo. Isso é essencial para a construção de soluções gerais.

4 Construção de Bases para Campos

4.1 Base de Ondas Planas

4.1.1 Definição

As ondas planas formam uma base completa para o espaço de funções em \(\mathbb{R}^3\): \[\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{x}) = \frac{e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}}{(2\pi)^{3/2}}\]

4.1.2 Relação de Ortogonalidade

\[\int_{\mathbb{R}^3} \psi_{\mathbf{k}}^*(\mathbf{x}) \psi_{\mathbf{k}'}(\mathbf{x}) d^3x = \delta^{(3)}(\mathbf{k} - \mathbf{k}')\]

4.1.3 Completeza

\[\int_{\mathbb{R}^3} \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{x}) \psi_{\mathbf{k}}^*(\mathbf{x}') d^3k = \delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{x}')\]

4.2 Decomposição de Fourier

4.2.1 Transformada de Fourier

Qualquer função (suave) pode ser decomposta como: \[f(\mathbf{x}) = \int_{\mathbb{R}^3} \tilde{f}(\mathbf{k}) \frac{e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}}{(2\pi)^{3/2}} d^3k\] onde: \[\tilde{f}(\mathbf{k}) = \int_{\mathbb{R}^3} f(\mathbf{x}) \frac{e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}}{(2\pi)^{3/2}} d^3x\]

4.2.2 Propriedades da Base de Ondas Planas

  1. Diagonaliza o laplaciano: \[\nabla^2 e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} = -k^2 e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\]

  2. Comportamento sob translações: \[f(\mathbf{x} + \mathbf{a}) \to \tilde{f}(\mathbf{k}) e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{a}}\]

  3. Comportamento sob rotações: \[f(R\mathbf{x}) \to \tilde{f}(R^{-1}\mathbf{k})\]

4.3 Soluções Modais

4.3.1 Separação de Variáveis

Procuramos soluções da forma: \[\phi(x_0, \mathbf{x}) = T(x_0) \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{x})\] Substituindo na equação de onda: \[\ddot{T}(x_0) \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{x}) = T(x_0) \nabla^2 \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{x})\] \[\frac{\ddot{T}(x_0)}{T(x_0)} = \frac{\nabla^2 \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{x})}{\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{x})} = -k^2\]

4.3.2 Soluções Temporais

Para cada \(\mathbf{k}\), obtemos a equação do oscilador harmônico: \[\ddot{T}(x_0) + k^2 T(x_0) = 0\] As soluções são: \[T(x_0) = A e^{-i\omega_k x_0} + B e^{i\omega_k x_0}\] onde \(\omega_k = |\mathbf{k}|\) (no sistema de unidades onde \(c=1\)).

4.3.3 Soluções de Onda Plana

Portanto, as soluções modais são: \[\phi_{\mathbf{k}}(x_0, \mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega_k x_0)}\] \[\phi_{\mathbf{k}}^*(x_0, \mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} e^{-i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega_k x_0)}\]

4.4 Formalismo Simplético para Ondas Planas

4.4.1 Base Simplética

Definimos a base de ondas planas no espaço de fase: \[Q_{\mathbf{k}}(x_0, \mathbf{x}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} \phi_{\mathbf{k}} \\ -i\omega_k \phi_{\mathbf{k}} \end{pmatrix}\]

4.4.2 Produto Interno dos Modos

Calculamos o produto interno simplético entre dois modos: \[(Q_{\mathbf{k}}, Q_{\mathbf{k}'})_\Omega = -i \int_{\mathbb{R}^3} Q_{\mathbf{k}}^\dagger \Omega Q_{\mathbf{k}'} d^3x\] \[= \delta^{(3)}(\mathbf{k} - \mathbf{k}')\]

Important

A normalização \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) foi escolhida para que o produto interno dos modos seja exatamente uma delta de Dirac.

4.4.3 Decomposição do Campo

Qualquer campo pode ser decomposto como: \[Q(x_0, \mathbf{x}) = \int_{\mathbb{R}^3} [a_{\mathbf{k}} Q_{\mathbf{k}}(x_0, \mathbf{x}) + a_{\mathbf{k}}^* Q_{\mathbf{k}}^*(x_0, \mathbf{x})] d^3k\] Os coeficientes são obtidos por: \[a_{\mathbf{k}} = (Q_{\mathbf{k}}, Q)_\Omega\]

5 Função de Green para Campos

5.1 Construção do Propagador

5.1.1 Generalização do Caso de Partículas

Para campos, a função de Green (propagador) é construída de forma análoga:

\[G(x_0, \mathbf{x}; x_0', \mathbf{x}') = -i \Theta(x_0 - x_0') \int_{\mathbb{R}^3} \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_k} [e^{-i\omega_k(x_0 - x_0')} e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{x} - \mathbf{x}')} - e^{i\omega_k(x_0 - x_0')} e^{-i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{x} - \mathbf{x}')}]\]

5.1.2 Simplificação

Esta expressão pode ser simplificada para: \[G(x, x') = \Theta(x_0 - x_0') \int_{\mathbb{R}^3} \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \frac{1}{\omega_k} \sin[\omega_k(x_0 - x_0')] e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{x} - \mathbf{x}')}\]

5.2 Propriedades do Propagador

5.2.1 Equação Diferencial

O propagador satisfaz: \[(\partial_{x_0}^2 - \nabla^2) G(x, x') = \delta^{(4)}(x - x')\]

5.2.2 Condições de Contorno

  • Propagador avançado: vanish para \(x_0 < x_0'\) (causalidade)
  • Propagador retardado: vanish para \(x_0 > x_0'\) (causalidade temporal)
Warning

A escolha entre propagador avançado e retardado corresponde a diferentes condições de contorno. O propagador avançado é adequado para problemas de espalhamento com condições iniciais no passado.

6 Simulações Numéricas

6.1 Visualização de Ondas Planas

Code 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation
from IPython.display import HTML

# Parâmetros
k = 2.0  # número de onda
omega = k  # frequência (c=1)

# Domínio espacial
x = np.linspace(-10, 10, 1000)
t = np.linspace(0, 2 * np.pi / omega, 100)


# Função de onda
def onda_plana(x, t, k, omega):
    return np.cos(k * x - omega * t)


# Criar figura
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))
ax.set_xlim(-10, 10)
ax.set_ylim(-1.5, 1.5)
ax.set_xlabel(r"$x$")
ax.set_ylabel(r"$\phi(x,t)$")
ax.set_title(f"Onda Plana: k = {k}, ω = {omega}")
ax.grid(True, alpha=0.3)

# Linha da onda
(line,) = ax.plot([], [], "b-", lw=2)


# Função de animação
def animate(i):
    y = onda_plana(x, t[i], k, omega)
    line.set_data(x, y)
    return (line,)


# Criar animação
anim = FuncAnimation(fig, animate, frames=len(t), interval=50, blit=True)
plt.close()
HTML(anim.to_html5_video())
Figure 1: Visualização de ondas planas em 1D

6.2 Superposição de Ondas

Code 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parâmetros
k0 = 2.0  # número de onda central
sigma = 0.5  # largura do pacote
x = np.linspace(-15, 15, 1000)


# Pacote de ondas (transformada de Fourier de uma gaussiana)
def pacote_ondas(x, t, k0, sigma):
    k = np.linspace(-5, 5, 500)
    dk = k[1] - k[0]
    # Envelope gaussiano no espaço k
    envelope = np.exp(-((k - k0) ** 2) / (2 * sigma**2))
    # Fase temporal
    omega = np.abs(k)  # c=1
    fase = np.exp(1j * (k * x - omega * t))
    # Integral (superposição)
    psi = np.sum(envelope * fase * dk)
    return np.real(psi) / np.sqrt(2 * np.pi)


# Tempos para visualização
tempos = [0, 2, 4, 6]
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(12, 10))
axes = axes.flatten()

for i, t in enumerate(tempos):
    y = [pacote_ondas(xi, t, k0, sigma) for xi in x]
    axes[i].plot(x, y, "b-", lw=2)
    axes[i].set_xlim(-15, 15)
    axes[i].set_ylim(-0.5, 0.5)
    axes[i].set_xlabel(r"$x$")
    axes[i].set_ylabel(r"$\phi(x,t)$")
    axes[i].set_title(f"t = {t}")
    axes[i].grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.show()
Figure 2: Superposição de ondas planas (pacote de ondas)

6.3 Visualização do Propagador

Code 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parâmetros
x = np.linspace(-20, 20, 1000)
t = 2.0  # tempo fixo
epsilon = 0.1  # regularização


# Propagador em 1D (regularizado)
def propagador_1d(x, t, epsilon=0.1):
    # Versão regularizada do propagador
    return np.sin(t * np.sqrt(x**2 + epsilon**2)) / np.sqrt(x**2 + epsilon**2)


y = propagador_1d(x, t, epsilon)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))
ax.plot(x, y, "r-", lw=2)
ax.set_xlabel(r"$x - x'$")
ax.set_ylabel(r"$G(x, t; 0, 0)$")
ax.set_title(f"Propagador em 1D (t = {t})")
ax.grid(True, alpha=0.3)
ax.axhline(y=0, color="black", linestyle="-", alpha=0.3)
ax.axvline(x=0, color="black", linestyle="-", alpha=0.3)
plt.show()
Figure 3: Função de Green (propagador) em 1D

7 Resumo dos Conceitos

Conceito Partículas Campos
Espaço de fase \(\mathbb{R}^2\) (posição, momento) Espaço de funções (dimensão infinita)
Vetor de estado \(V = (y, q)^T\) \(Q = (\phi, \pi)^T\)
Matriz simplética \(\Omega = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}\) \(\Omega = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}\)
Produto interno \(V_1^T \Omega V_2\) \(-i\int Q_1^\dagger \Omega Q_2 d^3x\)
Hamiltoniana \(H = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -\omega^2 & 0\end{pmatrix}\) \(H = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -\nabla^2 & 0\end{pmatrix}\)
Base 2 vetores \(V_1, V_2\) Infinitos modos \(Q_{\mathbf{k}}\)
Condições iniciais \(y(0), q(0)\) \(\phi(0,\mathbf{x}), \pi(0,\mathbf{x})\)
Função de Green \(G(x,x')\) \(G(x_0,\mathbf{x}; x_0',\mathbf{x}')\)

8 Exercícios

8.1 Exercício 1: Formalismo Simplético para Campos

a) Mostre que o produto interno simplético para campos é conservado.

b) Verifique que a matriz \(\Omega\) satisfaz \(\Omega^2 = -I\) e \(\Omega^T = -\Omega\).

c) Mostre que o operador \(H\) da equação de onda pode ser escrito como \(H = \Omega \mathcal{H}\), onde \(\mathcal{H}\) é um operador Hermitiano.

d) Determine a forma explícita de \(\mathcal{H}\) para o campo escalar.

8.2 Exercício 2: Ondas Planas

a) Verifique que as ondas planas formam uma base ortonormal no produto interno \(\langle f,g \rangle = \int f^* g \, d^3x\).

b) Mostre que a transformada de Fourier é uma transformação unitária.

c) Calcule a transformada de Fourier da função gaussiana \(f(\mathbf{x}) = e^{-a|\mathbf{x}|^2}\).

d) Mostre que a transformada de Fourier diagonaliza o operador laplaciano.

8.3 Exercício 3: Soluções da Equação de Onda

a) Resolva a equação de onda \(\partial_{x_0}^2 \phi = \nabla^2 \phi\) usando o método de separação de variáveis.

b) Encontre todas as soluções modais da forma \(\phi(x_0,\mathbf{x}) = T(x_0)\psi(\mathbf{x})\).

c) Mostre que para cada \(\mathbf{k}\) obtemos um oscilador harmônico.

d) Escreva a solução geral da equação de onda como uma integral sobre \(\mathbf{k}\).

8.4 Exercício 4: Produto Interno Simplético

a) Calcule \((Q_{\mathbf{k}}, Q_{\mathbf{k}'})_\Omega\) para os modos de onda plana.

b) Mostre que \((Q_{\mathbf{k}}^*, Q_{\mathbf{k}'})_\Omega = -\delta^{(3)}(\mathbf{k} - \mathbf{k}')\).

c) Verifique que \((Q_{\mathbf{k}}, Q_{\mathbf{k}'}^*)_\Omega = 0\).

d) Interprete o significado físico destes resultados.

8.5 Exercício 5: Decomposição do Campo

a) Mostre que qualquer campo pode ser decomposto como: \[Q(x_0,\mathbf{x}) = \int [a_{\mathbf{k}} Q_{\mathbf{k}} + a_{\mathbf{k}}^* Q_{\mathbf{k}}^*] d^3k\]

b) Encontre a expressão para \(a_{\mathbf{k}}\) em termos do campo e de sua derivada temporal.

c) Determine as relações de comutação para os operadores \(a_{\mathbf{k}}\) e \(a_{\mathbf{k}}^\dagger\).

d) Interpretar \(a_{\mathbf{k}}\) e \(a_{\mathbf{k}}^\dagger\) como operadores de criação e aniquilação.

8.6 Exercício 6: Propagador Avançado

a) Construa o propagador avançado para a equação de onda usando o formalismo simplético.

b) Verifique que o propagador satisfaz a equação \((\partial_{x_0}^2 - \nabla^2)G(x,x') = \delta^{(4)}(x-x')\).

c) Mostre que \(G(x,x') = 0\) para \(x_0 < x_0'\) (condição de causalidade).

d) Calcule o propagador em 1+1 dimensões explicitamente.

8.7 Exercício 7: Condições de Contorno

a) Discuta a diferença entre propagador avançado e propagador retardado.

b) Por que o propagador avançado é adequado para problemas de espalhamento?

c) Como as condições de contorno no infinito afetam a escolha do propagador?

d) Mostre que o propagador avançado e retardado estão relacionados por \(G_{\text{ret}} = G_{\text{adv}}^*\).

8.8 Exercício 8: Massa e Modos de Fourier

a) Estenda o formalismo para a equação de Klein-Gordon: \((\partial_{x_0}^2 - \nabla^2 + m^2)\phi = 0\).

b) Mostre que as soluções modais têm frequência \(\omega_k = \sqrt{k^2 + m^2}\).

c) Como a massa modifica a relação de dispersão?

d) Discuta o limite \(m \to 0\) e compare com o caso sem massa.

8.9 Exercício 9: Simulações Numéricas

a) Implemente uma simulação numérica para a equação de onda em 1D usando diferenças finitas.

b) Visualize a evolução temporal de um pacote de ondas.

c) Compare a evolução de uma solução com e sem massa.

d) Implemente o propagador numericamente e verifique suas propriedades.

8.10 Exercício 10: Generalizações

a) Como o formalismo se estende para campos vetoriais (como o eletromagnetismo)?

b) Discuta as dificuldades de estender o formalismo para espaços curvos.

c) O que muda se o campo for complexo em vez de real?

d) Discuta a relação entre este formalismo e a quantização canônica.