Aula 2: O Limite Contínuo e as Variáveis de Criação e Aniquilação

Minicurso: Osciladores Acoplados e a Equação de Klein–Gordon

Sandro Vitenti

Roteiro do minicurso

Aula 1 (slides)

1. O oscilador harmônico: espaço de fase e integração numérica
2. A cadeia de osciladores
3. Matrizes circulantes e a transformada de Fourier discreta

Aula 2

4. A cadeia e o seu limite contínuo
5. Partículas a partir das soluções da cadeia

Em toda a Aula 2: a cadeia à esquerda, o limite contínuo à direita.

Notas, código e notebooks: página do minicurso

A cadeia e o seu limite contínuo

A cadeia como uma corda

x_j \equiv j\,\Delta x, \qquad L \equiv N\Delta x, \qquad m = \rho\,\Delta x, \qquad K = \frac{\tau}{\Delta x}, \qquad K_0 = \rho\,\mu^2\Delta x \frac{K_0}{m} = \mu^2, \qquad \frac Km = \frac{c^2}{\Delta x^2}, \qquad c \equiv \sqrt{\tau/\rho}

Figura 1: A mesma corda, de comprimento L = 40, representada por cadeias de N = 10, 20 e 80 partículas, com alturas h^j = \phi(x_j) e x_j = j\Delta x. A linha cinza é a função \phi(x); as linhas azuis ligam partículas vizinhas.

• \rho, \tau, \mu, c \equiv \sqrt{\tau/\rho} descrevem a corda e não dependem de N.

Notas: Os parâmetros de uma corda

A equação de movimento

Cadeia \rho\,\ddot h^j = \tau\,\frac{h^{j+1} - 2h^j + h^{j-1}}{\Delta x^2} - \rho\mu^2 h^j

• A segunda diferença dividida por \Delta x^2.
• N equações acopladas, resolvidas na Aula 1.

Limite contínuo, h^j = \phi(t, x_j) h^{j+1} - 2h^j + h^{j-1} = \Delta x^2\phi'' + \frac{\Delta x^4}{12}\phi'''' + \dots \frac{\partial^2\phi}{\partial t^2} - c^2\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} + \mu^2\phi = 0

• Klein–Gordon; \mu^2\phi é o termo de massa.

Notas: Os parâmetros de uma corda

Hamiltoniana

Cadeia H = \sum_j\left[\frac{p_j^2}{2\rho\Delta x} + \frac{\tau}{2\Delta x}\left(h^{j+1} - h^j\right)^2 + \frac{\rho\mu^2\Delta x}{2}\left(h^j\right)^2\right] \{h^j, p_k\} = \delta^j{}_k

Limite contínuo, \Pi(x_j) \equiv p_j/\Delta x H = \int_0^L\left[\frac{\Pi^2}{2\rho} + \frac\tau2\phi'^2 + \frac{\rho\mu^2}{2}\phi^2\right]\mathrm dx \{\phi(x_j), \Pi(x_k)\} = \frac{\delta^j{}_k}{\Delta x} \;\to\; \delta(x - y)

Notas: A Hamiltoniana

Energia dos osciladores e das molas

Oscilador j (partícula e mola K_0), em x_j: E_j \equiv \frac{p_j^2}{2m} + \frac{K_0}{2}\left(h^j\right)^2 Mola entre j e j+1, em x_{j+1/2} \equiv \left(j + \tfrac12\right)\Delta x: E_{j+1/2} \equiv \frac K2\left(h^{j+1} - h^j\right)^2 H = \sum_j\left(E_j + E_{j+1/2}\right)

• Índice inteiro: na partícula. Índice semi-inteiro: na mola.
• Num trecho a \le j \le b: \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\sum_{j=a}^b e_j = S_{a-1/2} - S_{b+1/2}. Só as fronteiras contam: S é um fluxo.

Como variam \dot E_j = K\left(h^{j+1} - h^j\right)\dot h^j - K\left(h^j - h^{j-1}\right)\dot h^j \dot E_{j+1/2} = K\left(h^{j+1} - h^j\right)\left(\dot h^{j+1} - \dot h^j\right) Energia de uma partícula (oscilador e meia mola de cada lado): e_j \equiv E_j + \frac{E_{j-1/2} + E_{j+1/2}}{2}, \qquad \dot e_j = -\left(S_{j+1/2} - S_{j-1/2}\right) Fluxo de energia através da mola (energia por unidade de tempo): S_{j+1/2} \equiv -\frac K2\left(h^{j+1} - h^j\right)\left(\dot h^j + \dot h^{j+1}\right)

Notas: O fluxo de energia

A energia passa pelas molas

Cadeia, com m = \rho\Delta x, K = \tau/\Delta x, K_0 = \rho\mu^2\Delta x: E_j = \Delta x\left[\frac{1}{2\rho}\left(\frac{p_j}{\Delta x}\right)^2 + \frac{\rho\mu^2}{2}\left(h^j\right)^2\right] E_{j+1/2} = \Delta x\;\frac\tau2\left(\frac{h^{j+1} - h^j}{\Delta x}\right)^2 S_{j+1/2} = -\tau\,\frac{h^{j+1} - h^j}{\Delta x}\,\frac{\dot h^j + \dot h^{j+1}}{2} \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{e_j}{\Delta x} = -\frac{S_{j+1/2} - S_{j-1/2}}{\Delta x}, \qquad |S_{j+1/2}| \le \frac{c}{\Delta x}\,e_{j+1/2}

Limite contínuo \frac{E_j}{\Delta x} \to \frac{\Pi^2}{2\rho} + \frac{\rho\mu^2}2\phi^2, \qquad \frac{E_{j+1/2}}{\Delta x} \to \frac\tau2\phi'^2 \mathcal E = \frac{\Pi^2}{2\rho} + \frac\tau2\phi'^2 + \frac{\rho\mu^2}2\phi^2, \qquad \mathcal S = -\tau\phi'\dot\phi = -c^2\Pi\phi' \frac{\partial\mathcal E}{\partial t} + \frac{\partial\mathcal S}{\partial x} = 0, \qquad |\mathcal S| \le c\,\mathcal E

Notas: O fluxo de energia

Com que velocidade anda a energia?

Um fluxo é uma densidade vezes uma velocidade (corrente elétrica = densidade de carga \times velocidade). Na mola entre j e j + 1: \underbrace{S_{j+1/2}}_{\text{fluxo}} = \underbrace{\frac{e_{j+1/2}}{\Delta x}}_{\text{energia por comprimento}} \times\ \text{velocidade da energia} e_{j+1/2} \equiv E_{j+1/2} + \frac{E_j + E_{j+1}}{2} = \underbrace{\frac K2\left(h^{j+1} - h^j\right)^2}_{\text{mola } K} + \underbrace{\frac{p_j^2 + p_{j+1}^2}{4m}}_{\text{metade das cinéticas}} + \underbrace{\frac{K_0}{4}\left[\left(h^j\right)^2 + \left(h^{j+1}\right)^2\right]}_{\text{metade das molas } K_0} S_{j+1/2} = -K\left(h^{j+1} - h^j\right)\dot h^{j+1/2}, \qquad \dot h^{j+1/2} \equiv \frac{\dot h^j + \dot h^{j+1}}{2}\ \ \text{(velocidade do ponto médio da mola)}

• Objetivo: mostrar que |S_{j+1/2}| \le \dfrac{c}{\Delta x}\,e_{j+1/2}, isto é, velocidade da energia \le c.

Notas: O fluxo de energia

Passo 1: o fluxo é limitado por energias

O fluxo é um produto (força \times velocidade). Um quadrado nunca é negativo: \left(\sqrt K\,\left|h^{j+1} - h^j\right| - \sqrt m\,\left|\dot h^{j+1/2}\right|\right)^2 \ge 0 K\left(h^{j+1} - h^j\right)^2 - 2\sqrt{Km}\,\left|h^{j+1} - h^j\right|\left|\dot h^{j+1/2}\right| + m\left(\dot h^{j+1/2}\right)^2 \ge 0 \sqrt{Km}\,\left|h^{j+1} - h^j\right|\left|\dot h^{j+1/2}\right| \le \frac K2\left(h^{j+1} - h^j\right)^2 + \frac m2\left(\dot h^{j+1/2}\right)^2 Multiplicando por \sqrt{K/m}, o lado esquerdo é K|h^{j+1} - h^j||\dot h^{j+1/2}| = |S_{j+1/2}|: |S_{j+1/2}| \le \sqrt{\frac Km}\Big[\underbrace{E_{j+1/2}}_{\text{energia da mola}} + \underbrace{\frac m2\left(\dot h^{j+1/2}\right)^2}_{\text{cinética do ponto médio}}\Big]

Notas: O fluxo de energia

Passo 2: o ponto médio não tem mais energia cinética que as pontas

Outro quadrado: \left(\dot h^j - \dot h^{j+1}\right)^2 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad 2\,\dot h^j\dot h^{j+1} \le \left(\dot h^j\right)^2 + \left(\dot h^{j+1}\right)^2 Usando isso no quadrado da média: \left(\dot h^{j+1/2}\right)^2 = \frac{\left(\dot h^j\right)^2 + 2\,\dot h^j\dot h^{j+1} + \left(\dot h^{j+1}\right)^2}{4} \le \frac{\left(\dot h^j\right)^2 + \left(\dot h^{j+1}\right)^2}{2} Multiplicando por m/2 e usando p_j = m\dot h^j: \frac m2\left(\dot h^{j+1/2}\right)^2 \le \frac{p_j^2 + p_{j+1}^2}{4m}

• A energia cinética da velocidade média não passa da média das energias cinéticas.
• Igualdade somente se as duas pontas da mola têm a mesma velocidade.

Notas: O fluxo de energia

Passos 3 e 4: a energia não anda mais depressa que c

Juntando os passos 1 e 2, e somando os termos de K_0, que não são negativos: |S_{j+1/2}| \overset{1}{\le} \sqrt{\frac Km}\left[E_{j+1/2} + \frac m2\left(\dot h^{j+1/2}\right)^2\right] \overset{2}{\le} \sqrt{\frac Km}\left[E_{j+1/2} + \frac{p_j^2 + p_{j+1}^2}{4m}\right] \overset{3}{\le} \sqrt{\frac Km}\;e_{j+1/2} Passo 4: K/m = \tau/(\rho\,\Delta x^2) = c^2/\Delta x^2, logo |S_{j+1/2}| \le \frac{c}{\Delta x}\,e_{j+1/2} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \left|\,\frac{S_{j+1/2}}{e_{j+1/2}/\Delta x}\,\right| \le c

• A energia em cada mola anda no máximo com velocidade c = \sqrt{\tau/\rho}, que não depende de N.
• Igualdade nos três passos: energia da mola = cinética, pontas com a mesma velocidade, K_0 = 0: a onda sem massa g(x - ct).
• Com \mu > 0, parte da energia fica nas molas K_0, que não a transportam: mais devagar que c.

Notas: O fluxo de energia

O momento ao longo da cadeia

Cadeia P_{\rm rede} = -\sum_j p_j\,\frac{h^{j+1} - h^{j-1}}{2\Delta x}, \qquad \dot P_{\rm rede} = 0 \Delta x\sum_j S_{j+1/2} = c^2 P_{\rm rede}

Simetria	Conservada
tempo	H
translação T	P_{\rm rede}
\vec h \to \vec h + \beta\vec 1 (K_0 = 0)	P = \sum_j p_j

Limite contínuo \mathcal P = -\Pi\phi', \qquad \mathcal S = c^2\mathcal P \frac{\partial\mathcal P}{\partial t} + \frac{\partial\mathcal T}{\partial x} = 0 \mathcal T = \frac{\Pi^2}{2\rho} + \frac\tau2\phi'^2 - \frac{\rho\mu^2}2\phi^2

• T por uma partícula passa a ser a translação por qualquer distância.

Notas: O momento ao longo da cadeia

Relação de dispersão e velocidade de grupo

Cadeia, k_a \equiv 2\pi a/L \omega_{\Delta x}(k) = \sqrt{\mu^2 + \frac{4c^2}{\Delta x^2}\sin^2\frac{k\Delta x}{2}} \frac{\mathrm d\omega_{\Delta x}}{\mathrm dk} = \frac{c^2\kappa(k)}{\omega_{\Delta x}}, \qquad \kappa(k) = \frac{\sin k\Delta x}{\Delta x}, \qquad \left|\frac{\mathrm d\omega_{\Delta x}}{\mathrm dk}\right| \le c\cos\frac{k\Delta x}2

Limite contínuo \omega(k)^2 = \mu^2 + c^2k^2 \frac{\mathrm d\omega}{\mathrm dk} = \frac{c^2k}{\omega} < c, \qquad \frac{\omega}{k} > c

• As cristas andam mais rápido que c, mas não transportam o pacote.

Notas: Relação de dispersão e velocidade de grupo

Cadeia \times contínuo

Figura 2: Esquerda: relação de dispersão da cadeia \omega_{\Delta x}(k) para \Delta x = 1, 0{,}5 e 0{,}25, até k = \pi/\Delta x, e a do contínuo \omega(k) = \sqrt{\mu^2 + c^2k^2} (preta), com c = \mu = 1. Em k = 2 o erro relativo \omega_{\Delta x}/\omega - 1 é -1{,}2\times 10^{-1}, -3{,}3\times 10^{-2} e -8{,}3\times 10^{-3}, dividido por cerca de 4 a cada \Delta x dividido por 2. Direita: velocidade de grupo \mathrm{d}\omega/\mathrm{d}k para os mesmos casos; todas ficam abaixo de c = 1 (tracejada).

Notas: Relação de dispersão e velocidade de grupo

A base de Fourier

Cadeia v_a^{\,j} = \frac{e^{ik_ax_j}}{\sqrt N}, \qquad \vec v_a^{\,\dagger}\vec v_b = \delta_{ab} \sum_a v_a^{\,j}\left(v_a^{\,k}\right)^* = \delta^{jk}

• a no intervalo simétrico: o de menor |a| para cada vetor.

Limite contínuo v_a^{\,j} = \sqrt{\Delta x}\,u_a(x_j), \qquad u_a(x) = \frac{e^{ik_ax}}{\sqrt L} \phi(x) = \sum_{a\in\mathbb Z}\tilde\phi^a u_a(x) \sum_{a\in\mathbb Z}u_a(x)u_a^*(y) = \delta(x - y)

Notas: A base de Fourier

O cone de luz

Figura 3: Alturas h^j(t) na cadeia com N = 512 (\Delta x = 0{,}078, c = 1) a partir da gaussiana em repouso de largura \sigma = 0{,}5 centrada em x_0 = 20; as linhas tracejadas são x = x_0 \pm ct. Esquerda, \mu = 0: dois pulsos se afastam com velocidade c e o centro volta ao repouso, h(15, x_0) = 0{,}000. Direita, \mu = 1: a cadeia continua oscilando dentro do cone, h(15, x_0) = -0{,}129. Fora da região |x - x_0| > ct + 5\sigma, |h^j| não passa de 1{,}5\times 10^{-5} (\mu = 0) e 5{,}8\times 10^{-6} (\mu = 1), contra 3{,}4\times 10^{-6} da cauda da gaussiana no contínuo.

Notas: Simulações

O cone de luz: animação

Once Loop Reflect

Com \mu = 0 os pulsos andam sobre as bordas do cone; com \mu = 1 ficam um pouco atrás e a cadeia continua oscilando dentro do cone.

Notas: Simulações

A energia no cone de luz

Figura 4: Gaussiana em repouso (\sigma = 0{,}5, x_0 = 20) na cadeia com N = 512 e c = \mu = 1. Esquerda: energia por unidade de comprimento de cada mola, e_{j+1/2}/\Delta x (escala logarítmica); a maior parte da energia viaja junto ao cone de luz (tracejado), e em t = 15 apenas 12\% dela está em |x - x_0| < ct/2. Direita: velocidade da energia em cada mola, S_{j+1/2}\Delta x/e_{j+1/2}, onde e_{j+1/2}/\Delta x é maior que 10^{-3} do seu máximo; ela fica entre -c e c, com |S_{j+1/2}|\Delta x/(c\,e_{j+1/2}) \le 0{,}9968, e é próxima de \pm c junto ao cone (o máximo da energia em t = 15 se move com 0{,}985\,c) e menor no interior.

Notas: Simulações

O fluxo de energia: animação

Once Loop Reflect

S_{j+1/2}/c (azul) fica entre \pm e_{j+1/2}/\Delta x (verde): a energia não anda mais rápido que c.

Notas: Simulações

Um pacote de ondas

\psi^j(t) = \sum_{k_a > 0} c_a\,v_a^{\,j}\,e^{-i\omega_at}, \qquad c_a = e^{-(k_a - k_0)^2\sigma_{\rm p}^2/2}\,e^{-ik_ax_{\rm p}}, \qquad h^j = \mathrm{Re}\,\psi^j

Figura 5: Pacote de ondas na cadeia com N = 512, c = \mu = 1, k_0 = 2, \sigma_{\rm p} = 2, a partir de x_{\rm p} = 10. Esquerda: h^j = \operatorname{Re}\psi^j no plano (x_j, t), com o cone de luz x = x_{\rm p} \pm ct (tracejado); as cristas se movem com a velocidade de fase \omega/k = 1{,}117, maior que c, e atravessam a envoltória. Direita: a envoltória |\psi^j| em t = 0, 10 e 20 e o centro x_{\rm c}(t); o centro se move com velocidade 0{,}8841, igual à média de \mathrm{d}\omega_{\Delta x}/\mathrm{d}k ponderada por |c_a|^2 (0{,}8841) e menor que c; em k_0, \mathrm{d}\omega_{\Delta x}/\mathrm{d}k = 0{,}8915.

Notas: Simulações

O pacote: cristas e envoltória

Once Loop Reflect

As cristas andam com \omega/k = 1{,}117 > c e atravessam a envoltória; o centro anda com 0{,}884 < c.

Notas: Simulações

A cadeia converge para Klein–Gordon

def evolui(h0, p0, t, w, m):
    ft0, pt0 = np.fft.fft(h0), np.fft.fft(p0)
    ...  # cada modo como um oscilador de frequência w

• Cadeia: w = \omega_{\Delta x}(k_a). Klein–Gordon na mesma rede: w = \omega(k_a).
• Gaussiana em repouso: cadeia - Klein–Gordon em t = 15 dividido por 4{,}07 e 4{,}03 quando \Delta x cai de L/512 para L/1024: erro de ordem \Delta x^2.
• Energia do pacote: c^2P_{\rm rede}/H = 0{,}8932, constante, menor que c.

Notas: Simulações

A cadeia se aproxima do campo

Once Loop Reflect

Vermelho: cadeias com N = 16, 32, 128. Cinza: Klein–Gordon. Maior diferença: 0{,}136, 0{,}053, 0{,}004.

Notas: Simulações

Partículas a partir das soluções da cadeia

O produto simplético

Cadeia, soluções complexas \vec h(t), \vec p = m\dot{\vec h} \langle \vec h_1, \vec h_2\rangle \equiv i\sum_j\left[(h_1^j)^*p_{2,j} - (p_{1,j})^*h_2^j\right] = i\,\vec\chi_1^{\,\dagger}\Omega\,\vec\chi_2

• Conservado: A^{\mathsf T}\Omega + \Omega A = 0 (Aula 1).
• \langle \vec h_1, \vec h_2\rangle^* = \langle \vec h_2, \vec h_1\rangle, \langle \vec h_1^{\,*}, \vec h_2^{\,*}\rangle = -\langle \vec h_2, \vec h_1\rangle.
• Toda solução real tem \langle \vec h, \vec h\rangle = 0.

Limite contínuo \langle\phi_1, \phi_2\rangle = i\int_0^L\left(\phi_1^*\Pi_2 - \Pi_1^*\phi_2\right)\mathrm dx

• O produto de Klein–Gordon: a mesma soma, como integral.

Notas: O produto simplético

Modos de frequência positiva

Cadeia f_a^{\,j}(t) \equiv \frac{v_a^{\,j}\,e^{-i\omega_at}}{\sqrt{2m\omega_a}} \langle \vec f_a, \vec f_b\rangle = \delta_{ab}, \quad \langle \vec f_a^{\,*}, \vec f_b^{\,*}\rangle = -\delta_{ab}, \quad \langle \vec f_a, \vec f_b^{\,*}\rangle = 0 \vec h = \sum_a\left(\alpha_a\vec f_a + \alpha_a^*\vec f_a^{\,*}\right), \qquad \alpha_a = \frac{m\omega_a\tilde h^a + i\tilde p^a}{\sqrt{2m\omega_a}} H = \sum_a\omega_a|\alpha_a|^2, \qquad P_{\rm rede} = \sum_a\kappa_a|\alpha_a|^2 \{\alpha_a, \alpha_b^*\} = -i\delta_{ab}

Limite contínuo f_a(t, x) = \frac{u_a(x)\,e^{-i\omega(k_a)t}}{\sqrt{2\rho\,\omega(k_a)}} f_a^{\,j}(t) = f_a(t, x_j) \int\mathcal P\,\mathrm dx = \sum_{a\in\mathbb Z}k_a|\alpha_a|^2

• K_0 > 0 (ou \mu > 0): com K_0 = 0 o modo a = 0 é uma partícula livre, sem \alpha_0.

Notas: Modos de frequência positiva

O espaço de uma partícula

Cadeia \mathcal H_1 = \left\{\vec\psi = \sum_a\psi^a\vec f_a\right\} \cong \mathbb C^N, \qquad \langle\vec\psi_1, \vec\psi_2\rangle = \sum_a(\psi_1^a)^*\psi_2^a i\,\frac{\mathrm d\vec\psi}{\mathrm dt} = \sqrt{\frac{KD + K_0I}{m}}\;\vec\psi

• Em \mathcal H_1 o produto é positivo: espaço de Hilbert de dimensão N.
• \vec f_a: energia \hbar\omega_a, momento da cadeia \hbar\kappa_a.

Limite contínuo i\,\frac{\partial\psi}{\partial t} = \sqrt{\mu^2 - c^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}}\;\psi (\hbar\omega)^2 = (\hbar\mu)^2 + c^2(\hbar k)^2

• Dimensão infinita; partícula relativística de energia de repouso \hbar\mu.

Notas: O espaço de uma partícula

Duas partículas indistinguíveis

Cadeia \Psi^{j_1j_2}(t) = \sum_{a,b}\Psi^{ab}f_a^{\,j_1}(t)f_b^{\,j_2}(t), \qquad \Psi^{ab} = \Psi^{ba} \Psi = \frac{\vec\psi_{\rm E}\otimes\vec\psi_{\rm D} + \vec\psi_{\rm D}\otimes\vec\psi_{\rm E}}{\sqrt2}

• Uma amplitude para cada par de partículas (j_1, j_2) da cadeia.
• Trocar os rótulos dá o mesmo estado.

Limite contínuo \Psi(t; x_1, x_2) = \Psi(t; x_2, x_1)

• Uma função simétrica de duas posições.

Notas: O espaço de Fock

Dois pacotes que se cruzam

Figura 6: Estado de duas partículas indistinguíveis \Psi = (\psi_{\rm E}\otimes\psi_{\rm D} + \psi_{\rm D}\otimes\psi_{\rm E})/\sqrt2 na cadeia com N = 256 (c = \mu = 1), com \psi_{\rm E} um pacote com k_0 = 2 a partir de x = 10 e \psi_{\rm D} um pacote com k_0 = -2 a partir de x = 30 (\sigma_{\rm p} = 2). Os painéis mostram |\Psi^{j_1j_2}(t)|^2 antes, durante e depois do cruzamento dos pacotes, em t = 11{,}4; a diagonal tracejada é j_1 = j_2. A amplitude é simétrica pela troca j_1 \leftrightarrow j_2 (diferença máxima 3\times 10^{-17}): os dois picos, em (10, 30) e (30, 10) em t = 0, representam o mesmo estado, e não há como dizer qual partícula é qual. No cruzamento, \Psi^{j_1j_2} é proporcional a \cos(k_0(x_{j_1} - x_{j_2})) perto do centro, e |\Psi^{j_1j_2}|^2 mostra franjas paralelas à diagonal.

Notas: O espaço de Fock

Dois pacotes que se cruzam: animação

Once Loop Reflect

Os picos de um lado e do outro da diagonal são o mesmo estado; no cruzamento aparecem franjas paralelas à diagonal.

Notas: O espaço de Fock

O espaço de Fock

Cadeia \mathcal F = \mathcal H_0 \oplus \mathcal H_1 \oplus \mathcal H_2 \oplus \cdots, \qquad \dim\mathcal H_n = \binom{n + N - 1}{n}

• N = 15: 1, 15, 120, 680, 3060 estados com 0, \dots, 4 partículas.
• Números de ocupação n_a, com \sum_a n_a = n.
• Um único modo: |0\rangle, |1\rangle, |2\rangle, \dots, os níveis do oscilador.

Limite contínuo

• Cada \mathcal H_n com n \ge 1 tem dimensão infinita.
• O vácuo |0\rangle continua único.

Notas: O espaço de Fock

Criação e aniquilação

\left(a^\dagger(\vec\psi_2)\Psi\right)^{a_1\cdots a_{n+1}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}}\sum_i\psi_2^{a_i}\Psi^{a_1\cdots\widehat{a_i}\cdots a_{n+1}}, \qquad \left(a(\vec\psi_1)\Psi\right)^{a_2\cdots a_n} = \sqrt n\sum_{a_1}(\psi_1^{a_1})^*\Psi^{a_1\cdots a_n} \left[a(\vec\psi_1), a^\dagger(\vec\psi_2)\right] = \langle\vec\psi_1, \vec\psi_2\rangle, \qquad \left[a^\dagger(\vec\psi_1), a^\dagger(\vec\psi_2)\right] = 0, \qquad \left[a_a, a_b^\dagger\right] = \delta_{ab} \hat H = \sum_a\hbar\,\omega_a\,a_a^\dagger a_a, \qquad \hat P_{\rm rede} = \sum_a\hbar\,\kappa_a\,a_a^\dagger a_a

Notas: Operadores de criação e aniquilação

Energia e momento das partículas

Figura 7: Energia e momento da cadeia dos estados de uma partícula, (\hbar\kappa_a, \hbar\omega_a) (pontos azuis), e de duas partículas, (\hbar(\kappa_a + \kappa_b), \hbar(\omega_a + \omega_b)) (pontos laranja), na cadeia com N = 512, c = \mu = \hbar = 1, L = 40 e |a|, |b| \le 10; nesses modos \kappa_a difere de k_a por no máximo 0{,}25\%. A curva azul é \omega(k). Os estados de uma partícula têm energia de no mínimo \hbar\mu = 1; os de duas partículas, de no mínimo 2\hbar\mu = 2 (pontilhada), e para cada momento total formam uma faixa de energias.

Notas: Operadores de criação e aniquilação

A cadeia quântica

Cadeia, \{F, G\} \to [\hat F, \hat G]/(i\hbar), \alpha_a = \sqrt\hbar\,a_a \hat h^j = \sqrt\hbar\sum_a\left(a_af_a^{\,j} + a_a^\dagger(f_a^{\,j})^*\right) \left[\hat h^j, \hat p_k\right] = i\hbar\,\delta^j{}_k \hat H_{\rm cadeia} = \sum_a\hbar\,\omega_a\left(\hat n_a + \tfrac12\right)

• N osciladores quânticos: uma partícula é um quantum de um modo normal.
• E_{\rm vácuo} = \sum_a\hbar\omega_a/2 é finita (conferido com N = 3).

Limite contínuo \hat\phi = \sqrt\hbar\sum_{a\in\mathbb Z}\left(a_af_a + a_a^\dagger f_a^*\right) \left[\hat\phi(x), \hat\Pi(y)\right] = i\hbar\,\delta(x - y)

• E_{\rm vácuo} cresce sem limite (\times 15{,}8 de N = 256 para 1024): a energia é medida a partir do vácuo.

Notas: A cadeia quântica